有没有分析数学函数的算法？

Question

我正在使用 C++ 编程语言开发一个应用程序来绘制数学函数，用户编写函数、域和范围。我将 Win32 API 与 Direct2D 一起使用，但我不知道如何让程序绘制用户选择的函数。例如，用户输入函数“f (x) = x + 1”，程序应该绘制一条线。是否有任何算法可以实现来分析输入的函数，从而能够绘制它？

Answer 1

第一步是解析你从用户那里得到的字符串。这包括检查输入错误并提供有用的/描述性错误消息（例如“对不起，我不知道 ^ 字符的含义”），以便用户可以知道哪里出了问题并纠正他们的错误。这样做的结果应该是一组令牌；其中令牌由包含 ID（例如，常量、变量、左括号、右括号、加、减、乘、除...）和一些数据（如果需要）的结构表示（常量的值或变量名称)。

第二步，将token组织成一棵树；这样操作员令牌有孩子，这些孩子是操作员令牌操作的值。这可能需要使用运算符优先规则（如“BEDMAS” - 括号、指数、除法、乘法、加法和减法），以便“f(x) = x + 1 * 2”被视为“f(x) = x + (1 *2)”而不被视为“ f(x) = (x + 1) *2"。它还将涉及提供有用的/描述性的错误消息（例如“对不起，您的左括号太多而右括号不够”），以便用户可以知道出了什么问题并纠正他们的错误。例如，“f(x) = x * (2 + x) + 1”将变为：

         [+]
         / \
       [*] [1]
       / \
     [+] [x]
     / \
   [2] [x]

第三步（理论上是可选的）是优化树。可以预先计算具有常量的运算符（例如，“f(x) = x * (1 + 2)”可以变为“f(x) = x * 3”）。可以丢弃零的加法或减法（例如，“f(x) = x * 2 + 0)”可以变成“f(x) = x * 2”）。可以丢弃乘以零（例如“f(x) = x + (x * 0)”可以变成“f(x) = x”）。可以丢弃乘法或除法（例如，“f(x) = x + (x * 1)”可以变成“f(x) = x + x”）。除以零可以成为无穷大或成为有用/描述性错误消息。除以常数可以变成乘以常数（例如“f(x) = x / 4”可以变成“f(x) = x * 0.25”）。

第四步是以某种方式执行树。最简单的方法是自己解释树。为了这;从树根处的令牌开始；如果令牌是常量，则返回其值，否则计算子令牌的值，然后使用运算符令牌的类型来确定如何处理它们并返回该值。这自然是递归的。为了获得高性能，您可以将树转换为本机机器代码（JIT 编译器）。

请注意，计算机无法正确进行简单的数学运算。例如，如果您使用计算机可以理解的数据类型（例如 double）来表示“((x + 3) / 3 - x) * 100000 - 100000”之类的内容，您将得到非常错误的结果。问题是四舍五入（由于缺乏精度和/或有时需要无限精度）和溢出。为了解决这个问题，我建议使用有理数，其中一个数字以“numerator / denominator * 2**exponent”的形式表示为 3 个整数（例如，值 10 将表示为 5 / 1 * 2**1，而 10/3 将变为 5 / 3 * 2**1 ）。使用可变大小的“大整数”作为整数，这可以避免所有问题（“内存不足”除外，只有当用户输入的字符串也非常大时才会发生这种情况）。