求函数的上界答案

【问题标题】：Finding the upper bound of a function求函数的上界
【发布时间】：2021-01-14 04:34:48
【问题描述】：

Example-3 求 f(n) = n^4 + 100n^2 + 50 的上界

解：n^4 + 100n^2 + 50 ≤ 2n^4，对于所有 n ≥ 11 ∴ n^4 + 100n^2 + 50 = O(n^4 ) 其中 c = 2 和 n0 = 11

在上述问题中，解说 n>11 并且 n-nought 是 11。谁能解释为什么是11？供参考 - 这是 Narasimha Karumanchi 的 Data Structures and Algorithms Made Easy 中的一个问题

【问题讨论】：

【解决方案1】：

f(n) = n^4 + 100n^2 + 50

直观地说，n^4 增长非常快； n^2 的增长速度低于 n^4；而50 根本没有增长。

但是，对于 n、n^4 < 50 的小值；此外，n^2 术语前面有一个因子 100。由于这个因素，对于较小的 n 值，n^4

但是因为我们直觉n^4 的增长速度比n^2 快得多，所以我们预计，对于足够大的n，100 n^2 + 50 < n^4。

为了断言和证明这一主张，我们需要更准确地了解“对于 n 足够大”的含义。你的教科书找到了一个准确的值；他们声称：对于 n ≥ 11，100 n^2 + 50 < n^4。

他们是怎么发现的？也许他们解决了n 的不等式。或者也许他们只是通过注意到这一点而直觉到：

100 n^2 = 10 * 10 * n * n`
    n^4 =  n * n  * n * n

因此，只要 n 大于 10，n^4 就会成为两者中较大的一个。

结论：只要 n ≥ 11，f(n) < 2 n^4。因此，f(n) 满足f(n) = O(n^4) 的教科书定义。

【讨论】：

【解决方案2】：

它没有说n>11 它说n4 + 100n2 + 50 ≤ 2n4，对于所有n ≥ 11。

这是真的吗？您可以将公式中的n 替换为11 并自行检查。

11 是如何获得的？通过解决不等式。

【讨论】：

【解决方案3】：

它没有找到函数的上限。它是对带有大 O 表示法的函数的渐近分析。因此，常数c = 11 对分析无关紧要，并且如果您可以证明不等式对所有大于任何常数的n 都有效，例如c = 100，则将被接受。顺便说一句，你可以通过数学归纳证明它对所有n > 11 都是正确的。

【讨论】：