多个推销员遍历所有节点的最短路径算法

Question

有一个未加权的有向图可能包含双向边。有固定数量的推销员。每个业务员可以从任何节点开始。每个节点应至少访问一次。我需要最小化每个推销员的路径。我可以使用哪种算法来解决这个问题？

Answer 1

这个问题是Travelling Salesman Problem (TSP) 的变体，称为多旅行推销员问题或mTSP。更准确地说，它是 MDVRP，用于多场站车辆路径问题。
这个问题是 TSP 问题的推广，也是 NP-hard。

有几种方法可以解决这个问题，每种方法都有自己的优缺点。您可以选择一个。

首先，您必须回答一个简单的问题：您需要最优解，还是可以接受近似值？如果您的输入相对较大（例如，数十辆车辆访问数百个节点），则最佳算法是不可能的（世界上可能没有足够的能量来计算一个世纪内的最佳解决方案）。
逼近算法可以非常有效，并提出非常好的逼近。

在算法方面，您可以考虑以下算法/方法列表：

• 蛮力：有几辆车和几个节点，这将是完美的。否则，您可以忘记它。
• Branch and Bound：它可以是解决一些优化问题的有效方法，但在你的情况下，我不推荐它作为高级解决方案。
• Metaheuristics：这个术语包含了一系列非常有效的方法，例如局部搜索、遗传算法、模拟退火、蚁群……它们是近似算法，但它们的优势是能够处理非常大的输入，并快速提供一个不错的近似值。它们通常不太难实现，尤其是在图形问题上。
• Mixed-integer linear programming (MILP)：由于 mTSP 问题可以写成 MILP，所以可以使用 CPLEX、Gurobi 或 LocalSolver 等 MILP 求解器来求解。这种方法有几个优点：假设您对数学编程有一点经验，它们非常容易编写，并且它们通常具有非常好的性能。出于几个原因，我会推荐这种方法而不是其他方法。首先，我相信您将获得“工作时间与解决方案质量”的最佳权衡。其次，您可以添加一些其他约束（例如，车辆不应连续行驶 15 小时，因为人类驾驶员是人类）。第三，您可以运行求解器一分钟或一小时，这是您的选择。随着它的运行，您将获得越来越好的解决方案，以及一个界限（例如，您会知道您的解决方案最多比最优解决方案差 8.7%，这总是很高兴向管理层报告）。如果您对此方法有任何疑问，可以在OR stackexchange 上提问。
• 如果您有足够的专业知识来阅读科学论文，并且有足够的时间和技能去做，您可以挖掘文献并编写自己的算法。如果我们谈论的是一家非常大的公司，这将是一个很好的解决方案，其中从解决方案中获得的每一百分比都代表着大量资金（例如，一家在国家一级拥有数百/数千辆汽车的公司）。如果你决定去做，你可能会得到更好的解决方案，但对于一个经验丰富的小型团队来说，可能需要（至少）几个月的时间。您可以从this survey 开始了解概况（但请注意，该调查是 14 岁，更好的方法可以在最近的论文中描述）。要查找非常相似的问题，“MDVRP”一词是您的朋友。

TL;DR：将您的问题写成 MILP，并将其提供给求解器。这是 TSP 变体的最佳折衷方案，尤其是因为很多求解器都有面向 TSP 的优化。