遍历所需边列表的最短路径

Question

我有一个有向图，如下所示：

我想找到从开始到结束最便宜的路径，其中橙色虚线都是有效路径所必需的。

自然的最短路径是：开始 -> A -> B -> 结束，结果成本 = 5，但我们还没有满足所有必需的边缘访问。

我想要找到的路径（通过一般解决方案）是 Start -> A -> B -> C -> D -> B -> End 其中成本 = 7，我们有满足所有必需的边缘访问。

有人对如何要求这样的边缘遍历有任何想法吗？

Answer 1

令 R 为所需边的集合，F = |R|。令 G 为输入图，t (resp. s) 为所请求路径的起点（或终点）。

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预处理：一堆 Dijkstra 的算法运行...

第一步是创建另一个图表。该图将恰好有 F+2 个顶点：

• R 中的每个边对应一个
• 一个用于您要计算的路径的起点t
• 一个用于您要计算的路径的终点s

要创建此图表，您必须执行以下操作：

1. 从 G 中删除 R 中的每条边。
2. 对于 R 中的每条边 E = (b,e)：
   1. 计算从t到b的最短路径和从e到s的最短路径。如果存在，则在“新图”中添加一条连接 s 到 E 的边，衡量相关最短路径的长度。
   2. 对于 R \ {E} 中的每条边 E' = (b', e') ：
      1. 计算从 e 到 b' 的最短路径。如果存在，则在新图中添加一条从 E 到 E' 的边，衡量该最短路径的长度。将计算出的路径作为有效负载附加到相关边。
      2. 将计算出的路径作为有效负载附加到该边缘

构建此图的复杂度为 O((F+2)².(E+V).log(V)) 其中 E ( resp. V) 是原始图中边（resp. vertices）的数量。

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详尽搜索最佳路径

从这一点开始，我们必须在新创建的图中找到最短的哈密顿路径。不幸的是，这项任务是一个难题。我们没有比探索每条可能的路径更好的方法了。但这并不意味着我们不能巧妙地做到这一点。

我们将使用回溯执行搜索。我们可以通过维护两个集合来实现这一点：

• 当前探索的顶点列表：K（K代表已知）
• 当前未知顶点列表：U（U 代表 Uknown）

在深入挖掘算法定义之前，这里是主要思想。除了探索新图中可能路径的整个空间之外，我们无能为力。在每一步，我们都必须做出决定：下一步我们采取哪条边？这会导致一系列决策，直到我们无法再移动或到达s。但是现在我们需要返回并取消决定，看看我们是否可以通过改变方向做得更好。要取消决定，我们会这样处理：

• 每次我们被卡住（或找到路径）时，我们都会取消上一次做出的决定
• 每次我们在某个时刻做出决定时，我们都会跟踪哪个决定，因此当我们回到这一点时，我们知道不要做出同样的决定并探索其他可用的决定。
• 我们可能会被卡住，因为：
  • 我们找到了一条路径。
  • 我们无法继续前进（没有我们可以探索的边缘，或者我们唯一可以采用的边缘会过多地增加当前部分路径 - 它的长度变得比当前找到的最佳路径的长度要长）。

最终的算法可以这样总结：（我给出了一个迭代实现，可以发现递归实现更容易和更清晰）

让K ← [], L[0..R+1] ← [] 和 U ← V（其中 V 是工作图中每个顶点减去开始和结束顶点的集合 t em> 和 s）。最后让l←i←0和best_path_length←∞和best_path←[]

而（i ≥ 0）：

1. 而U≠[]
   1. c ← U.popFront()（我们拿U的头）
   2. L[i].pushBack(c)
   3. 如果i == R+1 AND (l == 重量(cur_path.back(), s) + l) best_path_length：
      1. best_path_length ← l
      2. 最佳路径 ← cur_path
   4. 如果K.tail()和c之间有边e，并且weight(e)+lbest_path_length:（如果K为空，则将K.tail()替换为t 在前面的语句中）
      1. K.pushBack(c)
      2. i ← i+1
      3. l ← weight(e) + l
      4. cur_path.pushBack(c)
2. 在U 的末尾连接L[i]
3. L[i] ← []
4. i ← i-1
5. cur_path.popBack()

在 while 循环 (while (i ≥ 0)) 结束时，best_path 将保存最佳路径（在新图中）。从那里你只需要获取边的有效载荷来重建原始图中的路径。