求这个程序的时间和空间复杂度

Question

    def g3(n):
        s = 0
        i = 1
        while i < n:
            i *= 2
            s += i
        return s
    
    def f3(n):
        s = []
        i = 2
        while (i < n):
            s.append(g3(i))
            i *= i
        return s

我正在尝试计算函数f3 的时间和空间复杂度，我得到了一些错误的答案，但我不知道我的错误在哪里，最终答案是时间复杂度：O(log(n))，空间复杂性O(log(log(n)))。

我的工作：
首先我决定计算函数g3 的时间复杂度，因为f3 在循环内调用它。 i 的值在 k 迭代之后是 2^k 并且它在 2^k >= n 时停止，这意味着 k=log(n)。所以现在我知道g3 的时间复杂度是log(n)。
继续循环内的f3，i 的值是2,4,16,256 或换句话说2^(2^k)，它在2^(2^k) >= n 时停止，所以我们得到k = log(log(n))。
现在为了计算f3 的整个时间复杂度，我知道函数f3 总共调用了g3 log(log(n)) 次。所以时间复杂度应该是这样的：

[log(2^(2^0))+log(2^(2^1))+...+log(2^(2^(log(log(n)))]*log(n)

请注意，所有这些都乘以log(n)，因为每个调用在g3 中迭代log(n) 次（或者至少我是这样理解的）。
现在我被困在这里，因为我觉得我走了这么远并犯了一些错误，我无法计算出总时间复杂度，也看不到它是O(log(n))，我非常感谢任何帮助或反馈。
在此先感谢大家！

Answer 1

在计算复杂性之前，您的推理是正确的。每个调用不会在g3 中迭代log(n) 次，而是在k-th 迭代中log(2^(2^k))。

让我们对k 进行一次迭代f3。此迭代具有复杂性log(2^(2^k)))。由于k 从1 变为N=floor(log(log(n)))，因此总复杂度是log(2^(2^k)) 从k=1 到N 的总和。使用属性log(a^b) = b*log(a)，这给我们一个时间复杂度等于2^k 从1 到N 的总和（去掉乘法常数），这给了我们，再一次去掉乘法常数， O(2^N) 中的时间复杂度。由于N=log(log(n))，我们最终得到2^(log(log(n)))的时间复杂度。由于log 在这里指的是以 2 为底的对数，这最终使我们的复杂度达到了O(log(n))。

关于时间复杂度，您存储 O(log(log(n))) 乘以一个值，这给出了 O(log(log(n))) 的空间复杂度。