如何找出给定函数是否为 O(n)？

Question

我在测试中被问到以下问题：

以下哪些属于 O(n)？

a) n + lgn b) n + 2n c) n + n^2 d) 1000n + 4500lgn + 54n

我知道 O(n) 的时间复杂度取决于元素的数量，因此随着元素数量的增加，完成操作所需的时间也会增加。按照这个逻辑，说a和c的时间复杂度是O(n)对吗？

Answer 1

考虑 O(n) 的定义，即对于某些函数 f(n) 必须有两个正常数，c 和 k，例如 c > 0、k > 0、n >= k和0 <= f(n) <= cn。如果我们可以证明常量 c 和 k 存在，那么函数就是 O(n)（如果这些常量不存在，那么函数实际上大于 O(n)）。

让我们看看F(n) = n + lg(n)。这是O（n）吗？如果是这样，那么我们应该很容易找到 c 和 k 的值。

0 <= f(n) <= cn
0 <= n + lg(n) <= cn

让我们将k 设置为 2，并考虑 n 为 2 的基本情况（因为 n >= k）。

0 <= 2 + lg(2) <= c * 2
0 <= 2 + 1 <= 2c
0 <= 3 <= 2c
0 <= 3/2 <= c

让我们看看函数在 n 增加时的行为（让 n = 4 看看会发生什么）。

0 <= 4 + lg(4) <= c * 4
0 <= 4 + 2 <= 4c
0 <= 6 <= 4c
0 <= 6/4 <= c
0 <= 3/2 <= c    .. take a look at that, it doesn't matter how large n becomes, c is 3/2

所以我们找到了我们的常数（c=3/2 和 k=2），所以这个函数的正式定义是 O(n)。

让我们看看F(n) = n + n^2。这是O（n）吗？应该很明显不是，它实际上是 O(n^2)，但是让我们看看我们是否可以找到值 c 和 k。

0 <= f(n) <= cn
0 <= n + n^2 <= cn

让我们再次将k 设置为 2，并考虑 n = k 的基本情况。

0 <= 2 + 2^2 <= c*2
0 <= 2 + 4 <= 2c
0 <= 6 <= 2c
0 <= 3 <= c   .. so IF this is O(n), c is at least 3

让我们看看随着 n 的增加（现在 n = 4）会发生什么

0 <= 4 + 4^2 <= 4c
0 <= 4 + 16 <= 4c
0 <= 20 <= 4c
0 <= 20/4 <= c
0 <= 5 <= c       .. last time c was 3, now its 5 ... as n increases, c is not constant!

这个函数不是 O(n) - 我们找不到常量值 c 和 k 因为它们根本不存在。

考虑 f(n) = 5n ... 这是 O(n)（在这种情况下，很明显 c 是 5）。考虑 f(n) = n * n .. 这不是 O(n) （c 将等于 n，它不是常数）。我们真正要说的是，我们的函数 f(n) 以另一个函数 g(n) 乘以某个常数为界。当我们询问一个函数是否为 O(n) 时，我们让 g(n) = n，但 n^2、lgn、nlgn 都是有趣的边界（这可能会在测试中）。

n + n^2 是 O(n^2) 吗？查找值c > 0 和k > 0、n >= k 应该不会有问题，例如0 <= n + n^2 <= cn^2。

看看 https://xlinux.nist.gov/dads//HTML/bigOnotation.html进一步阅读。