二分查找算法时间复杂度

Question

我想弄清楚我的算法的时间复杂度是多少，我有二进制搜索算法，我知道，这通常是 O(log n)。但我在两个常量之间搜索，即 x=1 和 x = 2^31 - 1（整数大小）。我认为在最坏的情况下，我的时间复杂度是 log2(2^31) = 31，所以在最坏的情况下，二分查找需要 31 步。然而，二分搜索的每一步我都会调用一个函数，该函数具有 O(n) 运行时间（只有输入大小的一个循环）。我的算法是否只是 O(31n)=O(n) 的顺序？

我的算法的输入：一个键，两个大小为 n 的数组 a 和 b。

在代码中它看起来像这样：

    binarySearch(key, a, b)
    min = 0, max = 2^31 - 1
    mid = (min + max) / 2
    while (min<=max) { 
        x = function(mid, a, b); //this function has O(n)
        if (x==key) {
            return mid;
        } else if (x < key) { 
            min = mid + 1
        } else {
            max = mid - 1
        }
        mid = (min + max) / 2
    }
    return KEY_NOT_FOUND

我只是想确定一下，如果您有时间复杂度（降低的时间复杂度），请解释您的答案。

Answer 1

更新

是的，你完全正确。

在最坏的情况下，function() 将被调用 31 次，每次调用都需要时间 O(n)，因此您的算法的运行时间简单地由 31 * O(n) = O(n) 给出。

x = function(mid)x = function(mid)的原始问题的解决方案

你的问题有点可疑，你算法的时间复杂度应该是O(1)。

当我们谈论算法的时间复杂度时，重要的一点是：

我们总是考虑算法所需的时间相对于其输入的大小。

在下面的sn-p中：

x = function(mid); //this function has O(n)

虽然 function() 可能是一个线性时间函数，但在您的情况下，function() 仅从集合 {0, 1, ..., 2<sup>30</sup>} 中获取输入 (mid)，因此在最坏的情况下 function() 会及时计算 @987654332 @，这是一个常数！

所以在最坏的情况下，您的 while 循环将调用 function() 31 次，所以在最坏的情况下，您的算法会及时运行 31 * T，这是一个常数。

请注意，您的算法的输入是key，而您算法的最坏情况运行时间是31 * T，这实际上与您的输入key 的大小无关！所以时间复杂度是O(1)。

在您的情况下，我认为用大 O 表示法来讨论时间复杂度是不合适的。我建议你谈谈在最坏情况下所需的计算步骤数。