请给出一个简单的方法来分析联合查找算法的时间复杂度。在这两种情况下 1.标准方法 2.加权联合启发式方法
我知道在标准版本中它的时间复杂度是：O(n^2) 在加权联合启发式方法的情况下，它是：O(m + n logn)
但我不明白，它是怎么来的。 假设：假设有n个元素和链表数据结构，每个节点都指向链表的头部，m=make set操作。
【问题讨论】：
标签： algorithm complexity-theory union-find
首先是一些定义：m是make-set操作的数量。 n 是联合/查找操作的总和。
标准版
假设join(a,b) 使b 成为a 的根。
如果有一个 0.5n 个调用序列，例如 joint(1,2)、joint(2,3)、joint(3,4)，您可以使用 @987654327 创建一个 0.5n 个节点链@ 在底部。然后find(1) 将花费 0.5n 次，因此调用 0.5n 次，您的运行时间将是 0.25n^2=O(n^2)
正如我们必须做的 m makeset 操作，我们最终得到 O(m+n^2)。
加权联合
我假设权重是集合的大小（而不是排名）。
对于给定的集合，让 h 是代表它的树的高度，w 是它的大小。 find 在该集合中最多花费 h 时间。通过归纳我们可以证明 h.
对于具有 w=1 和 h=0 的单个节点，该公式通常成立。
现在考虑两棵树 a 和 b 之间的连接，其中 a 成为新的根。假设 h 对 a 和 b 成立，我们将证明它对联合也成立。我们知道 wa>=wb => wab = wa+wb >= 2wb。如果 a 严格高于 b，我们有 hab = ha 。否则（当 hb >= ha）我们有 hab = 1+hb
这证明 h 成立。用较少的数学术语，我们已经证明任何集合的高度小于其大小的对数，因此查找最多需要 O(log(k)) 时间，其中 k 是设置。
令 j 为联合操作的数量。每个union 接触2 个元素，因此任何集合的最大大小都以2j 为界。
联合和查找的运行时间因此是O(j+k log(2j)) = O(n + n log(2n)) = O(n log(n))。我们必须再次执行 m makesets，所以总共得到 O(m + n log(n))
【讨论】：