求解形式 T(n-i) + f(n) 的递归示例 [关闭]答案

【问题标题】：solving recurrence examples of form T(n-i) + f(n) [closed]求解形式 T(n-i) + f(n) 的递归示例 [关闭]
【发布时间】：2013-02-05 09:30:10
【问题描述】：

我现在一直在研究一个问题集，我似乎已经掌握了用于重复示例的主方法。但是，我发现自己在使用其他方法（递归树、替换）时遇到了困难。这是我坚持的问题： T(n) = T(n-2) + n^2 是否有如下模式？ n^2 + T(n-2) + T(n-4) +... 直到没有剩下的 n 为止。所以大约 n/2 次，这是否意味着 n^2 + (n-2)^2 + (n-i) ^2 所以渐近界将是 theta(n^2)??

老实说，我在这里摸不着头脑，所以我希望有人能帮助指导我如何解决这些问题。也许不是对这个问题的直接回答，但最好是提示我应该从哪里开始。

【问题讨论】：

@MrE 我遇到了 T(n-2) 的问题，我可以做满足 Master 方法要求的那些，例如 T(n/2) + F(n)
我现在正在看平方和，Sum(from k=0 ... n) k^2 = (n(n+1)(2n+1))/6 .我可以看到这归结为 O(n^3)。然而我不明白你是如何得出结论的，它归结为平方和？（对不起，这个研究领域不是我的强项）你是否只是忽略了常数（减法，如 -2 ， -4 ， -i ）？并得到 sum(k=1...n/2) k^2?

标签： math complexity-theory asymptotic-complexity recurrence

【解决方案1】：

如你所说，结果将是 n^2 + (n-2)^2 + (n-4)^2 + ...

你可以直观地感觉到，因为总和中有很多 (n/2) 个元素，所以它会超过 O(n^2) - 与 1 + 2 + 3 + ... + 相同n 大于 O(n)。

证明它的一种方法是，您可以用所有平方数之和的一半来近似总和，其中有一个formula。所以它是 Theta(n^3)。

【讨论】：

啊，是的，我阅读了该页面的一些内容，现在我想我看到了。所以它用所有平方数之和的一半来近似总和，因为我们有 n^2 + (n-2)^2 + (n-4)^2... 而不是 n^2 + (N-1 )^2... 这就是你得到 SS 公式来得到 theta(n^3) 的地方。
是的，偶数的平方和（例如：4^2+2^2）大于赔率的平方和（3^2+1^2），但如果你再加一个奇数（5 ^ 2）到总和会更大的方程。因为总和是 theta(n^3)，所以得到总和的一半是一个足够好的近似值。

【解决方案2】：

以下是如何将总和按摩到结果中

n^2 + (n-2)^2 + ... + (n -2i) + ...

= {just writing in a different way}

(2n/2) + (2n/2 - 2)^2 + ... + (2n/2 -2i)^2 + ...

= {write m = n/2}

(2m)^2 + (2m-2)^2 + ... (2m - 2i)^2 + ...

= 4 ( m^2 + (m-1)^2 + ... (m-i)^2 ...)

= 4 ( sum (k^2) from k=1 to m)

= 4 ( sum (k^2) from k=1 to n/2)

= (n^3 + 3n^2 + 2n)/6

使用formula

【讨论】：