求解递归：T(n) = T(n^(1/2)) + Θ(lg lg n) [关闭]答案

【问题标题】：Solve recurrence: T(n) = T(n^(1/2)) + Θ(lg lg n) [closed]求解递归：T(n) = T(n^(1/2)) + Θ(lg lg n) [关闭]
【发布时间】：2012-06-24 08:06:05
【问题描述】：

开始学习算法。我了解如何从T(n) = Tf(n) + g(n) 之类的“定期重复”中找到 theta 符号。但是我迷失了这个recurrence: problem 1-2e：

T(n) = T(√n) + Θ(lg lg n)

如何选择寻找θ的方法？什么，呃，这个复发是什么？我只是不太明白 notation-inside-a-recurrence 的事情。

【问题讨论】：

Stack Overflow 是一个编程和开发问题的网站。这个问题似乎离题了，因为它与编程或开发无关。请参阅帮助中心的What topics can I ask about here。也许Mathematics Stack Exchange 会是一个更好的提问地点。
哦哇，过去的爆炸！这是一个通用的计算机科学问题（测量算法的 theta 符号），它应该移到哪里？这不属于数学，因为这不是数学问题。哦，我在 StackOverflow 上看到了类似的问题——stackoverflow.com/questions/3255/…。
是的，很抱歉。一个人问了一个质量很差的类似问题。他的问题被关闭为题外话。作为报复，他引用了你的问题，而你被他拖累了。

标签： algorithm math recurrence big-theta

【解决方案1】：

这是使用变量替换的好地方。我们从

开始

T(n) = T(√n) + Θ(log log n),

其中参数 n 衰减平方根因子。当你看到这样的东西时，一个很好的常见变换是通过设置 S(m) = T(2^m) 来定义一个新的循环。如果我们在这里这样做，我们会得到以下结果：

S(m) = T(2^m)

= T(√(2^m)) + Θ(log log 2^m)

= T(2^m/2) + Θ(log m)

= S(m / 2) + Θ(log m)。

换句话说，我们现在有了递归

S(m) = S(m / 2) + Θ(log m)。

这种重复似乎更容易处理，因为我们不再使用平方根项来缩小事物。特别是，这恰好是 Master Theorem 关心的事情。具体来说，我们有 a = 1、b = 2 和 d = 0。（为什么我们有 d = 0？因为我们可以将 Θ(log m) 视为 m⁰ Θ(log m ））。然后主定理告诉我们，这解决了

S(m) = Θ((log m)²).

我们刚刚求解了递归 S(m)，但我们对求解递归 T(n) 很感兴趣。我们如何连接它们？好吧，由于 S(m) = T(2^m)，我们可以 - 假设 n 是 2 的完美幂 - 将其重写为 S(log n) = T(n)。然后让我们看到

T(n) = S(log n)

= Θ((log log n)²),

这是递归的解。

【讨论】：

来自 lg k + (lg k) - 1 + (lg k) - 2 + (lg k) - 3 + ... + (lg k) - lg k 你是怎么得到 Θ( (lg k)2) ?
这来自和1 + 2 + 3 + ... + n = n(n+1)/2，插入n = lg k。
对不起，我还是没有正确理解。你能提供从 lg k + (lg k) - 1 + (lg k) - 2 + (lg k) - 3 + ... + (lg k) - lg k pls 的逐步减少吗？是的，我知道那个总结。但是你怎么能减少这个呢？请说清楚
@AkhilNadhPC 注意 (lg k) - 1 + (lg k) - 2 + ... + (lg k) - (lg k)，倒写为 0 + 1 + 2 + ... + (lg k) - 2 + (lg k) - 1 + lg k。
我的理解是到这个 (lg k) - 1 + (lg k) - 2 + ... + (lg k) - (lg k), = (lg k) +(lg k) + ..... +(lg k) -( 1+2+3+4+.... ) = (lg k) +(lg k) + ..... +(lg k) - m(m+1) / 2 你如何关联 m = log k ？（这里）

【解决方案2】：

这里是如何使用数学来解决它。我将使用lnln(n) 而不是O(lnln(n))。这主要是为了减少公式的长度，你可以用 big-O 做同样的事情。所以：

这意味着：

现在要转换这个大汇总通知

整个lnln(n) sum 可以转化为：

我们唯一的问题是在n 和k 之间找到一些联系，这可以很容易地从最新的T(...) 术语中推导出来。

为此，我们必须为最近的术语找到一个合理的约束条件。这可以通过尝试几个整数来完成，例如0, 1, 2。使用2 你有：

将 k 代入我们之前的等式，你会看到最大的项是：

因此复杂度为：

P.S.你可以看到类似重复出现的解决方案here

【讨论】：

太棒了！！！！多么好的解决方案（Y）