求解递归 T(n) = T(n / 1000) + T(999n/1000) + cn？

Question

这种重复的解决方法是什么？

T(n) = T(n/1000) + T(999n/1000) + cn.

我认为它的 O(n log n) 因为每个级别完成的工作将是 cn 并且树的高度将 log n 到 1000/999 的基数，但我不确定推理是否已验证。对吗？

Answer 1

需要注意的是，对于第一个 log₁₀₀₀n 层，递归的所有分支都将处于活动状态（即 n / 1000 个案例的分支不会触底）和每层完成的工作将是 Θ(n)。这为您提供了运行时的即时下限为 Ω(n log n)，因为有 Θ(log n) 层每个都在做 Θ(n) 工作。

对于低于此的层，工作开始下降，因为 n / 1000 案例的分支将触底。但是，您可以通过假设树中的每一层都会做 Θ(n) 的工作来限制所做的工作。在这种情况下，在 999n/1000 情况触底之前会有 log_1000/999 n 层，所以你得到 O(n log n) 的上限，因为你有 Θ(log n)做 Θ(n) 的层每个都起作用。

由于完成的工作是 Ω(n log n) 和 O(n log n)，因此运行时间是 Θ(n log n)。

希望这会有所帮助！