程序递归关系的解

Question

我有一个测验要求我找出程序的递归关系的解决方案：

算法所花费的时间 T(n) 通常是大小的函数， n，输入数据。假设您编写了一个显示以下时间循环的程序：

T(n) = T(n/2) + a ，如果 n > 1

T(n) = b，如果 n=1

这是我尝试过的：

T(n/2) = T(n/4) + a T(n/4) = T(n/8) + a

所以：

T(n) = T(n/4) + 2*a = T(n/8) + 3*a = T(n/K) + 3*a

到这里，我想让T(n) = 1，程序应该被终止，所以我做

n/K = 1 -> K = n

我得到：

T(n/n) + 3*a = b + 3a

但答案显示该程序具有对数复杂度，解决方案应为 T(n) = a ∗ log2(n) + b

我不明白如何获得上述解决方案，有人可以帮助我吗？ 谢谢！

Answer 1

这样想。在每次迭代中，您将问题大小 n 减半：从 n 到 n/2 到 n/4，依此类推。您可以想象一棵“树”，通常您有一个像 T(n) = a * T(n/b) + f(n) 这样的公式，然后在您的树中，每个节点的度数为 a，并且每个节点的问题大小被划分由 b。在您的情况下，树在每个级别都有一半的问题大小，但树节点的度数保持为一。

n/2: a
     \
n/4:  a
      \
n/8:   a
       \
        ...
        \
n/n:     b + a

我假设您知道这棵树有多深，以及如何达到您描述为解决方案的给定复杂性。

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另一种看待它的方式，更接近您的具体练习：在每次迭代中添加一个a 对吗？您多久添加一次这样的a？