递归调用的递归关系

【问题标题】：Recurence relation of recursive call inside another递归调用的递归关系
【发布时间】：2019-10-18 04:21:07
【问题描述】：

我正在尝试分析这段代码的成本：

static int funct1(int x) {
     if (x<=1) return x;
     return funct1(funct1(x/2)) + 1;
}

我如何解决重复关系T(n)=T(T(n/2))+1？

【问题讨论】：

标签： algorithm recursion time-complexity complexity-theory

【解决方案1】：

您的分析不正确。 T(n) = T(f(n/2)) + T(n/2) + 1（你错过了T(n/2)，但程序应该先计算T(n/2)，然后运行T(f(n/2))）。而且不是T(T(n/2))。

现在尝试将f(n) 视为函数funct1 的值。假设n = 2^k，f(2^k) = f(f(2^{k-1})) + 1 = f(f(2^{k-2}) + 1) + 1 = ... = f(f(f(...f(1) + 1..)+1)+1) + 1。 f(1) = 1、f(2) = 2、f(3) = 2、f(4) = 3、f(8) = f(f(4)) + 1 = f(3) + 1 = 3、f(16) = f(f(8)) + 1 = f(3) + 1 = 3 和 f(32) = f(f(16)) + 1 = f(3) + 1 = 3。如您所见，它对所有值 2^k 和 f(2^k) = 3 重复。

因此，T(n) = T(3) + T(n/2) + 1 = O(log n)。

【讨论】：