求解递归关系答案

【问题标题】：Solving a recurrence relation求解递归关系
【发布时间】：2010-05-22 17:24:48
【问题描述】：

我不确定这是否是发布此内容的正确位置，但问题实际上属于编程作业。这个递归是我可能应该知道如何解决的，但我遇到了一些麻烦。

解决递归：

T(0) = 2;
T(n) = T(n-1) + 2;

解决办法：

T(n) = 2(n+1)

有人可以告诉我他们是如何解决这个问题的吗？

请注意它不是解决这个特定问题的任务的主要部分。

【问题讨论】：

标签： algorithm math

【解决方案1】：

你必须弄清楚什么是解决方案，然后你可以使用归纳法来证明它。

计算方法很简单。

值是前一个值 + 2。

2, 2+2, 2+2+2, 2+2+2+2, 2+2+2+2+2, ...

用归纳法证明：

T(0) = 2
T(n) = T(n-1) + 2;

Solution
T(n) = 2(n+1)

Proof:
T(n) = T(n-1) + 2 => 2((n-1)+1) + 2 = 2(n+1)

Check for n=0
2(0+1)=2

End of proof

【讨论】：

问题是“你如何得到这个解决方案”，而不是“我如何证明这个解决方案是正确的”。
哦，我应该更多地关注如何找出 2,2+2,2+2+2,.. 和乘法之间的联系。
证明是获得解决方案的方法。
我很惊讶归纳法不是公认的答案：en.wikipedia.org/wiki/Mathematical_induction

【解决方案2】：

尝试写出前几个值 - 这应该很明显。

【讨论】：

不幸的是，“看看它，呃！”在严肃的论文中很少是适当的证明。
@Ignacio: 是的，但是一旦你把这个系列放在你面前，加上实际的数字，制定证明就变得容易多了（至少是 IMNVHO）
我同意 Paul R 的观点，发帖人并没有要求证明，而是要求获得生成函数的方法。可以用例如做一个证明。数学归纳法。

【解决方案3】：

拿T(5):

T(5)
  |
  +-> T(4) + 2
        |
        +-> T(3) + 2
              |
              +-> T(2) + 2 
                    |
                    +-> T(1) + 2
                          |
                          +-> T(0) + 2
                                |
                                +-> 2

现在计算 2 的数量，这些 T(5) 相加。

然后试着算出要为T(n)添加多少2。

【讨论】：

【解决方案4】：

这是一个arithmetic progression 与 ~~ratio~~ 的共同点 2。

第一项是T[0] = 2，~~ratio~~ 的共同区别是r = 2，所以n + 1th 项（n + 1th 因为0, 1, 2, ..., n 中有n + 1 数字）是T[0] + r*(n + 1 - 1) = 2 + 2*n = 2*(n + 1)。

无需猜测，只需将其识别为等差数列即可。

【讨论】：

将比率更改为公差，因为比率用于几何级数，而不是算术级数。
我很惊讶你是唯一一个把这个进程命名为什么的人......如果它是从T(6)开始的，很多人似乎会一无所知。

【解决方案5】：

n 每减一，2 就加一。这给出了一个变量项2n。由于 T(0) 固定为2，因此这给出了一个常数项2。将它们加在一起得到2n + 2 或2(n + 1)。

【讨论】：

递归递减。

【解决方案6】：

我会这样解决它：

Assume that T(n) = a*n + b for some a and b.
T(0) = 2. So a * 0 + b = 2, thus b = 2.

T(n) = T(n-1) + 2, so 
a * n + b = (a * (n-1) + b) + 2 consequently
a * n + b = a * n - a + b + 2 and
0 = - a + 2, thus a = 2.

So we have T(n) = 2 * n + 2 = 2 (n+1).

【讨论】：

【解决方案7】：

正如其他答案所指出的那样，手动解决这个问题非常简单，但如果它有用的话，Mathematica 可以很好地解决 recurrence relations 这样的问题。

评估

RSolve[{T[0] == 2, T[n] == T[n-1] + 2}, T[n], n]

返回

{{T[n] -> 2 (1 + n)}}

例如，它也可以找到第 n 个斐波那契数的封闭形式：

RSolve[{F[1] == 1, F[2] == 1, F[n] == F[n-1] + F[n-2]}, F[n], n] //FunctionExpand

返回

{{F[n] -> (((1 + Sqrt[5])/2)^n - (2/(1 + Sqrt[5]))^n*Cos[n*Pi])/Sqrt[5]}}

【讨论】：