递归关系：迭代求解

Question

有如下递归关系：

T(n) = 2 T(n-1) + O(1) for n > 1 
otherwise, its T(n) = O(1)

通过迭代，到目前为止我得到了这样的结果，

T(n) = 2(2T(n-2) + 1) + 1 --- 1
T(n) = 2(2(2T(n-3) + 1) + 1) + 1 ---- 2
T(n) = 2(2(2(2T(n-4) + 1) + 1) + 1) + 1 ------3
T(n) = 2(2(2(2(2T(n-5) + 1) + 1) + 1) + 1) +1 ----- 4

我不确定接下来要做什么来找到上限时间复杂度。谁能帮我解决这个问题。

Answer 1

根据O(1)的定义，我们知道对于一些常量N和c，对于所有n >= N

T(n+1) <= 2 T(n) + c

所以，识别几何系列的模式，

T(N+1) <= 2 T(N) + c
T(N+2) <= 2 T(N+1) + c <= 4 T(N) + 2 c + c
T(N+3) <= 2 T(N+2) + c <= 8 T(N) + 4 c + 2 c + c
...
T(N+k) <= 2^k T(N) + (2^k-1) c

然后将N + k替换为n，

T(n) <= 2^(n-N) T(N) + (2^(n-N)-1) c <= 2^n (2^(-N) (T(N) + c))

这证明T(n) 是O(2^n)。

Answer 2

看第四步

T(n) = 2(2(2(2(2T(n-5) + 1) + 1) + 1) + 1) +1 ----- 4
T(n) = 2(2(2(2(2T(n-5))))) + 16 + 8 + 4 + 2 +1 = 
T(n) = 2^4* 2T(n-5) + 2^4 + 2^3 + 2^2 + 2^1 + 2^0 =
T(n) = 2^4* 2T(n-5) + 2^5 -1 =

同样，如果你做同样的事情并再开发一次，你会得到：

T(n) = 2^5 *2T(n-6) + 2^5 + 2^5-1
T(n) = 2^5 * 2T(n-6) + 2^6-1

现在我们可以理解，如果我们将它开发到 T(1) 的基数，我们会得到：

T(n) = .... = 2^(n) -1 

请注意，这种方法只是给出解决问题的直觉，它不是证明。

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要正式证明该声明，您可以使用归纳法，并声明假设T(n) = 2^n -1：

基地：T(1) = 1 = 2^1 -1

归纳假设：对于所有k<n、T(k) = 2^k-1

证明：

T(n) = 2T(n-1) +1 =(i.h.) 2* (2^(n-1) -1) + 1 = 2^n -2 + 1 = 2^n - 1

备注：T(1) 基本子句实际上是C，类似地T(n) = 2T(n-1)+C 是一些常量而不是1，但为了简单起见，我使用1。将其更改为C 时，逻辑根本不会发生变化。