如何求解递归 T(n) = T(n/2) + T(n/4), T(1) = 0, T(2) = 1 是 T(n) = Θ(n lg φ ),哪里 φ 是黄金比例？答案

【问题标题】：How to solve the recurrence T(n) = T(n/2) + T(n/4), T(1) = 0, T(2) = 1 is T(n) = Θ(n lg φ ), where φ is the golden ratio?如何求解递归 T(n) = T(n/2) + T(n/4), T(1) = 0, T(2) = 1 是 T(n) = Θ(n lg φ ),哪里 φ 是黄金比例？
【发布时间】：2015-12-08 08:01:04
【问题描述】：

我尝试了递归树方法，因为主方法不适用于这种递归，但似乎它也不是正确的方法，任何帮助将不胜感激！

【问题讨论】：

不，我是算法设计和分析的新手，我只是想扩展我的知识。由于我负担不起上大学并向教授寻求帮助，也许这里有人可以提供帮助？祝你有美好的一天:)
n = n/2 n/4 = 2n/4 + n/4 = 3n/4 n/4 n/4 n/16 = n/16 n/4 + n/4 + n /16 + n/16 = 10n/16 我尝试了递归树，但我相信几何级数不适用，因为它不是 n^2（如果我错了，请纠正我）。我认为这个问题有一个特定的算法可以应用，这就是我寻求帮助的原因。

标签： algorithm asymptotic-complexity recurrence

【解决方案1】：

要么我的推导有错误，要么你的陈述有错误。

你可以通过展开递归来做到这一点：

T(n) = T(n/2) + T(n/4) = 2T(n/4) + T(n/8) 
T(n) = 3T(n/8) + 2T(n/16)
T(n) = 5T(n/16) + 3T(n/32)
....
T(n) = F(i + 1)T(n/2^(i-1)) + F(i)T(n/2^i)

F(i) 如果是Fibonacci number。

使用边界条件T(n/2^i) = T(1)有n = 2^i -> i = log2(n)。

T(n) = F(log2(n) + 1) T(2) + F(log2(n)) T(1) 等于 F(log2(n) + 1)

现在使用这个公式：

并将其剥离为仅phi^n（5 的平方根与复杂性无关，第二个thi^n -> 0 如果n->inf）您将得到：

T(n) = phi^(log2(n)+1) = phi * phi^log2(n) 等于O(n^log2(phi))，其中log2(phi) = 0.694。

P.S. 将其视为提示或建议。现在你不需要大学或教授来学习一些东西。决心和毅力更重要。不要害怕尝试做某事。你已经问过this question 并声称尝试了失败的主方法。人们向您建议了一种完全不同的方法，在这里您声称您完全尝试了 sam 并且没有尝试过在以前的案例中有效的方法。

【讨论】：

感谢您的回答和建议。没错，我只是希望有人能够彻底和简单地解释和展示步骤/程序，以便更好地理解它。别担心，我正在研究人们给我的解决方案，因为这就是为什么我首先来到这里进行程序。祝你有美好的一天:)