T(0) = 1, T(1) = 0, T(n ) = 2* T(n-2) 的递归关系答案

【问题标题】：Recurrence relation for T(0) = 1, T(1) = 0, T(n ) = 2* T(n-2)T(0) = 1, T(1) = 0, T(n ) = 2* T(n-2) 的递归关系
【发布时间】：2017-10-14 23:15:17
【问题描述】：

我正在尝试查找上述表达式的递归关系。

我推断：

T(n) = C*T(n-2)

T(n-2) = 2C*T(n-4)

T(n-4) = 3C * T(n-6)

...

T(n) = k/2C * T(n-k)

我被困在这里。这是正确的方法吗？简化方程中没有T的简化递推关系是什么？

【问题讨论】：

看起来不太对劲 - 当你每走一步时，2* 去哪儿了？（提示。这可能是指数级的）
这看起来有两种情况：2^(n/2) 表示偶数 n，0 表示奇数。可能有一种方法可以使用地板运算符在单个表达式中编写它

标签： algorithm recursion recurrence

【解决方案1】：

我写了一个python程序，找到了关系：

def rec(num):
    if num == 0:
        return 1
    elif num == 1:
        return 0
    else:
        return 2 * rec(num - 2)

经过多次测试，我发现了这个规律：

索引 2、3、4、5、6、7、8....

结果 2、0、4、0、8、0、16....

所以结果可能是 2^(n/2) 当 n = 2k && 0 当 n = 2k + 1 (k 属于 Z)

【讨论】：

我相信这是 2^(n/2)，而不是 2^n。例如4 = 2^(4/2)

【解决方案2】：

让我们观察当我们扩展这个函数m 次时的行为：

T(n) = 2^2 * T(n - 2*2)
     = 2^3 * T(n - 2*3)
     = 2^4 * T(n - 2*4)
     = ...
     = 2^m * T(n - 2m)

当n 是：

偶数：n - 2m最终等于0，表示最大值为m = n / 2，即T(n) = 2^(n/2)
奇数：“最终等于1，这意味着T(n) = 2^(...) * T(1) = 0

如果我们想用一个表达式来写：

T(n) = (1 - n + floor[n/2]) * 2^(n/2)

【讨论】：

这是有道理的！所以有两个结果的原因是因为 T(0) = 1 和 T(1) = 0。所以如果要通过归纳证明这一点，我必须同时证明偶数和奇数情况吗？
两者的迭代步骤是相同的——只要证明如果 T(n) 为真，那么 T(n-2) 等也为真，但基本情况步骤将不同是的。