分数的模幂答案

【问题标题】：Modular exponentiation of a fraction分数的模幂
【发布时间】：2020-04-03 06:12:48
【问题描述】：

有理数的模，即 a/b，其中 a,b 属于整数集，可以通过计算 b.mod(m) = b^-1 的模逆来找到。最后 a*b^-1mod(m) 给了我们所需的结果。我们如何有效地找到 (a/b)ⁿ 的模？给定 n 的数量级为 1e9，是否有一种有效的方法来计算结果，同时牢记值的溢出？我尝试了以下类似的方法。

const int modular = 1e9+7;


int modular_inverse(long long base) {
    long long result = 1;
    int power = modular-2;
    int MOD = modular;
    while(power > 0) {

        if(power & 1) {
            result = (result*base) % MOD;
        }
        base = (base * base) % MOD;
        power >>= 1;
    }
    return result;
}

int main() {
    int a = 27;
    int b = 2048;
    int A = a;
    int B = b;

    for(int i = 0; i < 1e9-1; ++i) {
        A *= a;
        B *= b;
        A = A%modular;
        B = B%modular;
    }
    int B_inv = modular_inverse(B);
    long long res = A*B_inv;
    res = res%mod;
    cout << res << endl;
}

【问题讨论】：

关于问题发布说明：使用 ^{上标表达式} 表示要在上标中提出的术语。

标签： c++ modular

【解决方案1】：

您可以使用fast exponentiation

计算 (ab^-1)ⁿmod(M)

请注意，您实际上在 modular_inverse 函数中实现了快速求幂，在该函数中计算 base^-1mod(M) 等于 base^{M- 2}mod(M) 如果 M 是素数。

所以你需要计算 b^-1（你已经做了），然后计算 (ab^-1)mod(M) .然后使用快速取幂将结果提高到 n 次方，对 M 进行所有运算。

【讨论】：