大数的模幂答案

【问题标题】：Modulus power of big numbers大数的模幂
【发布时间】：2012-01-07 09:34:02
【问题描述】：

我正在尝试实现 SAFER+ 算法。该算法需要如下求幂函数的模：

pow(45, x) mod 257

变量 x 是一个字节，因此范围可以从 0 到 255。因此，如果使用 32 位或 64 位整数实现，幂函数的结果可能非常大，从而导致不正确的值。

我该如何执行这个计算？

【问题讨论】：

@esskar：如果我没有完全弄错并且没记错的话，在模空间中有计算能力的特殊公式，模演算是问题的重要部分，所以这个问题与语言无关.
介绍性阅读：The multiplicative group of integers。这太久远了，我无法回答，但也许有人记得。
有一个用 C 编写的 SAFER+ 实现，您可以在这里学习：schneier.com/book-applied-source.html

标签： algorithm math language-agnostic modulus

【解决方案1】：

一些伪代码

function powermod(base, exponent, modulus) {
    if (base < 1 || exponent < 0 || modulus < 1)
        return -1

    result = 1;
    while (exponent > 0) {
       if ((exponent % 2) == 1) {
           result = (result * base) % modulus;
       }
       base = (base * base) % modulus;
       exponent = floor(exponent / 2);
    }
    return result;
}

然后打电话

powermod(45, x, 257)

【讨论】：

【解决方案2】：

通过重复平方执行求幂，每次操作后按模数减少。这是一种非常标准的技术。

一个工作示例：45^13 mod 257:

首先计算 45^2、45^4、45^8 mod 257：

45^2 模 257 = 2025 模 257 = 226

45^4 mod 257 = 226^2 mod 257 = 51076 mod 257 = 190

45^8 mod 257 = 190^2 mod 257 = 36100 mod 257 = 120
然后用13的二进制展开将这些组合起来得到结果：

45^13 模 257 = 45^1 * 45^4 * 45^8 模 257

45^13 模 257 = 45 * 190 * 120 模 257

45^13 模 257 = 8550 * 120 模 257

45^13 模 257 = 69 * 120 模 257

45^13 模 257 = 8280 模 257

45^13 模 257 = 56

请注意，计算的中间结果永远不会大于 257*257，因此可以轻松地以 32 位整数类型执行。

【讨论】：

【解决方案3】：

基本方法是根据指数位进行平方或相乘，并在每一步执行模归约。该算法称为(binary) modular exponentiation。

【讨论】：

【解决方案4】：

考虑简单的身份：

mod(A^2,p) = mod(A,p)*mod(A,p)

还要注意

A^4 = (A^2)^2

如果您知道要计算的最终指数的二进制表示，则可以轻松计算其他幂。

【讨论】：