在java中求解非线性系统（使用优化工具箱）

Question

我有一个非线性动力学系统，我可以将其求解到最优。我知道如何在 MATLAB 中做到这一点，但我希望在 JAVA 中实现这一点。由于某种原因，我迷失在如何用 Java 中做到这一点。

我所拥有的如下：
z(t)，它返回动态系统中的状态。

z(t) = [state1(t),...,state10(t)]

这个动态系统的变化率由下式给出：

z'(t) = f(z(t),u(t),d(t)) = [dstate1(t)/dt,...,dstate10(t)/dt]

其中 u(t) 和 d(t) 是一些我知道其值的外部变量。 此外，我还有一个函数，让我们表示从状态变量定义的 g(t)：

g(t) = state4(t)/c1

其中 c1 是一些常数。

现在我希望求解以下无约束非线性系统：

g(t) - c2 = 0

f(z(t),u(t),0)= 0

其中 c2 是一些常数。上面的系统可以看作是一个简单的 f'(x) = 0 问题，由 11 个方程和 1 个未知数组成，如果我应该在 MATLAB 中解决这个问题，我会做以下事情：

[output] = fsolve(@myDerivatives, someInitialGuess);

我知道 JAVA 没有任何内置求解器。因此，在我看来，解决上述问题有两种选择：
选项 1：自己动手：我可以使用数值方法，例如高斯牛顿或类似的非线性方程组求解。不过，我会先使用 java 工具箱，然后再使用数值方法。

选项 2：求解器（例如 commons optim） 这个解决方案是我想要研究的。我一直在研究这个工具箱，但是，我没有找到一个关于如何实际使用 MultiVariateFunction 评估器和数值优化器的确切示例。你们中有人有这方面的经验吗？

如果您对解决此问题有任何想法或建议，请告诉我。 谢谢！

Answer 1

请比较你原来的问题是什么样子的：

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一个全局优化问题

minimize f(y)

通过寻找导数系统的解来解决

0=grad f(y) or 0=df/dy (partial derivatives)

（梯度是包含所有偏导数的列向量），也就是说，您正在计算 f(y) 的“平坦”或水平点。

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在约束条件下进行优化

minimize f(y,u) such that g(y,u)=0

构建拉格朗日泛函

L(y,p,u) = f(y,u)+p*g(y,u)  (scalar product)

然后计算该系统的平面点，即

g(y,u)=0, dL/dy(y,p,u)=0, dL/du(y,p,u)=0

之后，与全局优化情况一样，您必须确定平坦点的类型，最大值、最小值或鞍点。

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最优控制问题具有结构（几个等价变体之一）

minimize integral(0,T) f(t,y(t),u(t)) dt

such that y'(t)=g(t,y(t),u(t)), y(0)=y0 and h(T,y(T))=0

为了解决这个问题，可以考虑哈密顿量

H(t,y,p,u)=f(t,y,u)-p*g(t,y,u)

得到转换后的问题

y' = -dH/dp = g, (partial derivatives, gradient)
p' =  dH/dy, 
   with boundary conditions 
       y(0)=y0, p(T)= something with dh/dy(T,y(T)) 
u(t) realizes the minimum in v -> H(t,y(t),p(t),v)