求解非线性丢番图方程，例如 (8+3n)m = 11？答案

【问题标题】：Solving nonlinear Diophantine equations such as (8+3n)m = 11?求解非线性丢番图方程，例如 (8+3n)m = 11？
【发布时间】：2019-03-15 20:36:01
【问题描述】：

是否有任何有效的算法可用于生成方程的所有整数解，如下面的？

理想情况下，我希望能够分别为 n、m 和 a、b、x、y、z 生成所有有效整数值的集合。至少我想要一种测试方程是否可解的方法。鉴于这些方程是非线性的，我想用于求解简单丢番图方程的典型方法在这里会失败。

如果能得到任何帮助，我将不胜感激！

【问题讨论】：

【解决方案1】：

因为 11 是素数，所以 Z 中只有 4 种可能的因式分解：

8+3n=11 and m=1
8+3n=1 (impossible) and m=11
8+3n=-11 (impossible) and m=-1
8+3n=-1 m=-11

通过将 n 限制在 {0,1} 中，只剩下一个解决方案...

对于第二种情况，有更多的可能性，因为 30 是 2*3*5，你将在 Z 中为你的两个术语有 16 个可能的产品...

如果将 (x,y,z) 替换为它们的 8 种可能组合，则第一项将退化为 a 中的一阶多项式，因此测试整数根只需 8*16 = 128 个多项式。

如果在替换有限集中的变量（通过蛮力）之后，所有问题都退化为一个变量的多项式的乘积，那么这就像找到多项式的整数根，这对于一阶多项式来说是微不足道的，例如上面的两个问题，等价于对整数进行多项式分解以获得更高的次数...

如果因子仍然是多变量的，但是是线性的（总阶数为 1），那么这就像求解线性系统。但求整数解不一定是小事，推荐阅读http://sites.math.rutgers.edu/~sk1233/courses/ANT-F14/lec3.pdf

否则，如果因子保持多元且总阶 > 1，则相当于求解多项式系统...在某些情况下，这是可能的，请参阅 https://en.wikipedia.org/wiki/Gr%C3%B6bner_basis。

【讨论】：