求解递推方程 T(n) = 3 + m * T(n - m)

Question

我明天有一个计算机科学期中考试，我需要帮助确定以下特定递归函数的复杂性，这比我已经研究过的东西要复杂得多：它有两个变量

T(n) = 3 + mT(n-m)

在m是常数的更简单的情况下，公式可以很容易地通过编写解包关系得到；然而，在这种情况下，拆包并没有让生活变得更轻松，如下所示（假设 T(0) = c）：

T(n) = 3 + mT(n-m)

T(n-1) = 3 + mT(n-m-1)

T(n-2) = 3 + mT(n-m-2)

...

显然，根据这些不等式没有直接的消除。所以，我想知道在这种情况下是否应该使用另一种技术。

Answer 1

不用担心m - 这只是一个常量参数。但是，您正在错误地展开递归。展开的每一步都涉及三个操作：

1. 用参数值取T的值，即mless
2. 乘以m
3. 添加常量3

所以，它看起来像这样：

T(n) = m * T(n - m) + 3 =                                        (Step 1)
     = m * (m * T(n - 2*m) + 3) + 3 =                            (Step 2)
     = m * (m * (m * T(n - 3*m) + 3) + 3) + 3 = ...              (Step 3)

等等。展开T(n) 直到步骤k 将由以下公式给出：

T(n) = m^k * T(n - k*m) + 3 * (1 + m + m^2 + m^3 + ... + m^(k-1))

现在你设置n - k*m = 0 使用初始条件T(0) 并得到：

k = n / m

现在您需要使用几何级数之和的公式 - 最后您将获得 T(n) 的封闭公式（我将最后一步留给您）。