scipy.linalg.eig 是否给出了正确的左特征向量？

Question

我有一个关于 scipy.linalg.eig 如何计算左右特征向量的问题。也许我误解了一切，但事情似乎不适合我......

从一开始。为了获得特征值和两个特征向量，我使用了以下内容：

ev, left_v, right_v = scipy.linalg.eig(A, left=True)

根据manual，在调用函数时设置left=True 后，我应该期望将左特征向量作为left_v 的列，其中第i 列指的是第i 个特征值。但是，结果不是我预期的，所以我做了一个简单的检查。

我计算了两次调用该函数的左右特征向量（详情请查看here）：

right_ev, right_v_2 = scipy.linalg.eig(A)
left_ev, left_v_2 = scipy.linalg.eig(A.T)

其中left_v_2 的列是与left_ev 中的对应值相关联的特征向量。 值得强调的是，right_ev_2 和 left_ev_2 给出了相同的特征值，但是它们的顺序不同，需要加以说明。

比较left_ev 和left_ev_2（在对特征值重新排序之后）可以很快发现前者是后者的共轭，因此从scipy.linalg.eig 获得的left_ev 与left=True 是无效的左特征向量。

基于任意实方矩阵左右特征向量是双正交的，可以对特征向量的有效性进行另一项检查，即：

left_v.T.dot(right_v) 应该给出一个对角矩阵，但它没有， 直到我把它改成：left_v.T.conj().dot(right_v),

同时：

left_v_2.T.dot(right_v_2) 给出一个预期的对角矩阵。

以前有没有人遇到过类似的问题？我说的对吗？ sciPy 手册在描述eig 时是否有点不精确？能给点建议吗？

非常感谢！

Answer 1

关于vl，eig 文档字符串说：

a.H vl[:,i] = w[i].conj() b.H vl[:,i]

或者，取两边的共轭转置（即Hermitian转置）（这是.H的意思），并假设b是恒等式，

vl[:,i].H a = w[i] vl[:,i].H

所以vl 的共轭转置的行是a 的实际左特征向量。

Numpy 数组实际上没有 .H 属性，因此必须使用 .conj().T。

这是一个验证计算的脚本：

import numpy as np
from scipy.linalg import eig

# This only affects the printed output.
np.set_printoptions(precision=4)

a = np.array([[6, 2],
              [-1, 4]])

w, vl, vr = eig(a, left=True)

print "eigenvalues:", w
print

# check the left eigenvectors one-by-one:
for k in range(a.shape[0]):
    val = w[k]
    # Use a slice to maintain shape; vec is a 2x1 array.
    # That allows a meaningful transpose using .T.
    vec = vl[:, k:k+1]
    # rowvec is 1x2; it is the conjugate transpose of vec.
    # This should be the left eigenvector.
    rowvec = vec.conj().T
    # Verify that rowvec is a left eigenvector
    lhs = rowvec.dot(a)
    rhs = val * rowvec
    print "Compare", lhs, "to", rhs
    print rowvec, "is",
    if not np.allclose(lhs, rhs):
        print "*NOT*",
    print "a left eigenvector for eigenvalue", val

print
print "Matrix version:"
print "This"
print vl.conj().T.dot(a)
print "should equal this"
print np.diag(w).dot(vl.conj().T)

输出：

eigenvalues: [ 5.+1.j  5.-1.j]

Compare [[ 1.6330+2.4495j  4.0825+0.8165j]] to [[ 1.6330+2.4495j  4.0825+0.8165j]]
[[ 0.4082+0.4082j  0.8165-0.j    ]] is a left eigenvector for eigenvalue (5+1j)
Compare [[ 1.6330-2.4495j  4.0825-0.8165j]] to [[ 1.6330-2.4495j  4.0825-0.8165j]]
[[ 0.4082-0.4082j  0.8165+0.j    ]] is a left eigenvector for eigenvalue (5-1j)

Matrix version:
This
[[ 1.6330+2.4495j  4.0825+0.8165j]
 [ 1.6330-2.4495j  4.0825-0.8165j]]
should equal this
[[ 1.6330+2.4495j  4.0825+0.8165j]
 [ 1.6330-2.4495j  4.0825-0.8165j]]

现在，eig 文档字符串也在返回值的描述中说：

vl : double or complex ndarray
    The normalized left eigenvector corresponding to the eigenvalue
    ``w[i]`` is the column v[:,i]. Only returned if ``left=True``.
    Of shape ``(M, M)``.

这可能会产生误导，因为左特征向量（例如 http://mathworld.wolfram.com/LeftEigenvector.html 或 http://en.wikipedia.org/wiki/Eigenvalues_and_eigenvectors#Left_and_right_eigenvectors）的传统定义是一个行向量，所以它是 vl 列的共轭转置，实际上是左特征向量。