左特征向量在 scipy 中没有给出正确的（马尔科夫）平稳概率答案

【问题标题】：Left eigenvectors not giving correct (markov) stationary probability in scipy左特征向量在 scipy 中没有给出正确的（马尔科夫）平稳概率
【发布时间】：2012-05-08 18:16:24
【问题描述】：

给定以下马尔可夫矩阵：

import numpy, scipy.linalg
A = numpy.array([[0.9, 0.1],[0.15, 0.85]])

平稳概率存在且等于[.6, .4]。这很容易通过矩阵的大幂来验证：

B = A.copy()
for _ in xrange(10): B = numpy.dot(B,B)

这里B[0] = [0.6, 0.4]。到现在为止还挺好。根据wikipedia：

平稳概率向量被定义为在转移矩阵的应用下不改变的向量；即定义为概率矩阵的左特征向量，与特征值1相关联：

所以我应该能够计算特征值为 1 的 A 的 left 特征向量，这也应该给我平稳概率。 Scipy's implementation of eig 有一个左关键字：

scipy.linalg.eig(A,left=True,right=False)

给予：

(array([ 1.00+0.j,  0.75+0.j]), array([[ 0.83205029, -0.70710678],
   [ 0.5547002 ,  0.70710678]]))

这表示主要的左特征向量是：[0.83205029, 0.5547002]。我读错了吗？如何使用特征值分解得到[0.6, 0.4]？

【问题讨论】：

标签： python scipy markov-chains

【解决方案1】：

[0.83205029, 0.5547002] 只是 [0.6, 0.4] 乘以 ~1.39。

虽然从“物理”的角度来看，您需要其分量之和等于 1 的特征向量，scaling eigenvector by some factor does not change it's "eigenness"：

如果，那么显然

所以，要获得[0.6, 0.4]，你应该这样做：

>>> v = scipy.linalg.eig(A,left=True,right=False)[1][:,0]
>>> v
array([ 0.83205029,  0.5547002 ])
>>> v / sum(v)
array([ 0.6,  0.4])

【讨论】：

哦，当然。 R(ing)TFM 表明 eig 返回归一化的向量。在我的脑海中，我期待一个归一化的概率分布（L1 范数），而 scipy 给出了更明显的平方和（L2 范数）。事后看来，我应该注意到两种成分的比例在两种情况下都是相同的。谢谢！

【解决方案2】：

就特征向量而言，eig 函数返回单位向量。

所以，如果我们采取 v = [0.6, 0.4]，其长度为： l = np.sqrt(np.square(a).sum()) 或 l = np.linalg.norm(v)，所以归一化向量（从 scipy.linalg.eig 返回）是：

>>> v = np.array([.6, .4])
>>> l = np.sqrt(np.square(a).sum())
>>> v / l
array([0.83205029, 0.5547002 ])

因此，如果您需要向量是马尔可夫链中的 随机向量 或 概率向量，只需将其缩放，使其总和为 1.0

【讨论】：