eigen() 和正确的特征向量答案

【问题标题】：eigen() and the correct eigenvectorseigen() 和正确的特征向量
【发布时间】：2021-03-08 11:26:05
【问题描述】：

我的问题如下：

我正在尝试使用 R 来以数字方式计算 this 问题。所以我已经在控制台中正确设置了问题，然后我尝试计算特征向量。

但我希望与 lambda = 1 关联的特征向量是 (1,2,1) 而不是我在这里得到的。所以，缩放是正确的（0.4082483 实际上是 0.8164966 的一半），但我想获得一致的结果。

我最初的问题是使用 R 找到马尔可夫链的平稳分布，而不是在纸上进行。所以从概率的角度来看，我的平稳分布是一个向量，其分量之和等于 1。出于这个原因，我试图改变比例以获得我定义的“一致结果”。

我该怎么做？

【问题讨论】：

【解决方案1】：

C <- matrix(c(0.5,0.25,0,0.5,0.5,0.5,0,0.25,0.5),
            nrow=3)
ee <- eigen(t(C))$vectors

正如@Stéphane Laurent 在 cmets 中所建议的，特征向量的缩放是任意的；仅指定相对值。 R中的默认值是特征向量的平方和（它们的范数）等于1； colSums(ee^2) 是 1s 的向量。

通过链接，我们可以看到您希望每个特征向量总和为 1。

ee2 <- sweep(ee,MARGIN=2,STATS=colSums(ee),FUN=`/`)

（即，将每个特征向量除以其总和）。

（这是一个很好的通用解决方案，但在这种情况下，第二个和第三个特征向量的总和都近似为零[理论上，它们恰好为零]，所以这只对第一个特征向量才有意义。）

【讨论】：

【解决方案2】：

R 返回的特征向量被归一化（对于平方范数）。如果V 是一个特征向量，那么s * V 对于任何非零标量s 也是一个特征向量。如果您想要链接中的固定分布，请除以总和：

V / sum(V)

你会得到(1/4, 1/2, 1/4)。

所以：

ev <- eigen(t(C))$vectors
ev / colSums(ev)

一次性获得所有解决方案。

【讨论】：