Numpy 似乎产生了不正确的特征向量

Question

我想用 Numpy 来计算特征值和特征向量。这是我的代码：

import numpy as np
from numpy import linalg as LA

lapl = np.array(
       [[ 2, -1, -1,  0,  0,  0],
        [-1,  3,  0, -1,  0, -1],
        [-1,  0,  2, -1,  0,  0],
        [ 0, -1, -1,  3, -1,  0],
        [ 0,  0,  0, -1,  2, -1],
        [ 0, -1,  0,  0, -1,  2]])

w, v = LA.eigh(lapl)

print ('Eigenvalues:', np.round(w,0))
print ('Eigenvectors:', np.round(v,2))

结果如下：

Eigenvalues: [ 0.  1.  2.  3.  3.  5.]
Eigenvectors: [[ 0.41  0.5   0.41 -0.46  0.34  0.29]
               [ 0.41  0.    0.41  0.53  0.23 -0.58]
               [ 0.41  0.5  -0.41 -0.07 -0.57 -0.29]
               [ 0.41  0.   -0.41  0.53  0.23  0.58]
               [ 0.41 -0.5  -0.41 -0.46  0.34 -0.29]
               [ 0.41 -0.5   0.41 -0.07 -0.57  0.29]]

但是，当我在 Wolfram Alpha 中运行相同的矩阵时，我得到了不同的结果 - 特征值相同，但特征向量不同：

v1 = ( 1, -2, -1,  2, -1,  1)
v2 = ( 0, -1,  1, -1,  0,  1)
v3 = ( 1, -1,  0, -1,  1,  0)
v4 = ( 1,  1, -1, -1, -1,  1)
v5 = (-1,  0, -1,  0,  1,  1)
v6 = ( 1,  1,  1,  1,  1,  1)

这里是 Wolfram Alpha 计算的链接：http://bit.ly/1wC9EHJ

为什么我得到不同的结果？我应该在 Python 中做什么才能获得与 Alpha 产生的结果相同的结果？

非常感谢您的帮助！

Answer 1

由于多种原因导致结果不同：

1234563 >行。

1. 特征向量的比例（或长度）未定义。所以它通常被缩放到长度 1。Wolfram 结果的缩放不同，我猜这会引起一些混乱。

2. 请注意，通过缩放矢量，即使是 符号 也可以改变。这就是为什么正面和负面元素可能会颠倒的原因。

3. 最后但同样重要的是：特征向量的顺序是未定义的，只要它们的顺序与其对应的特征值相同。因此，您还需要查看 Wolfram 的特征值，并可能相应地将 v1 重新排序为 v6。 （按特征值大小排序是一种常见的约定。Wolfram 似乎按降序排序，而 numpy 按升序排序。）

4. 对于具有非唯一特征值的矩阵，对应的特征向量可以任意旋转，只要它们跨越对应的子空间。但是，您的示例中似乎并非如此。

考虑到前 4 个问题，结果实际上非常接近。奇点无关紧要，因为只有一个零特征值，因此相应的特征向量是唯一的（直到符号和长度）。