求任何多项式函数在 x 处的正切

Question

问题：

我正在寻找一个包罗万象的函数，我可以用它来计算 any 多项式函数在 x 处的正切。尽管更喜欢 JavaScript 或 Python，但我对使用的语言不感兴趣！我应该能够以 a + bx + cx^2 + dx^3 ...等格式传入任何 x 值和系数数组。

示例函数格式：

function findTangent(x, coefficients) {

  // Do differential calculus here.

  return [tangentIntercept, tangentSlope]

}

示例功能测试：

假设我有函数 y = 2 + 7x + 5x^2 + x^3 我想找到切线 x = -2 .我可以像这样调用这个函数，findTangent(-2, [2, 7, 5, 1]) 并得到这样的返回值，[-2, -1] 代表切线，y = -2 - x。

注意事项：

我在 Math Stackexchange 和 Google 搜索中寻找答案，但所有结果都是数学语法而非代码。我想要一个程序化的解决方案，我更喜欢循环和 if 语句，而不是有趣的符号和数学术语！

Answer 1

好的，经过一天的努力，我想我已经在 J​​avaScript 和 Python 中找到了解决方案！

The JavaScript Solution:

function findTangent(x, coefficients) {

  let slope = 0
  let intercept = coefficients[0]

  for (let i = 1; i < coefficients.length; i++) {

    slope += coefficients[i] * i * Math.pow(x, i - 1)
    intercept += coefficients[i] * Math.pow(x, i)

  }

  return [intercept - slope * x, slope]

}

The Python Solution:

def find_tangent(x, coefficients):

    slope = 0
    intercept = coefficients[0]

    for i, coefficient in enumerate(coefficients):

        if i != 0:

            slope += coefficient * i * pow(x, i - 1)
            intercept += coefficient * pow(x, i)

    return [intercept - slope * x, slope]

我已经针对Symbolab Tangent Calculator 测试了结果，它们似乎还可以，但是如果您发现任何错误，请告诉我！另外，我希望看到其他语言的结果，所以如果如果您有此处未提及的首选语言，请不要犹豫发布！

Answer 2

由于您询问了其他语言，这里有一个 C 函数，用于计算多项式在某个点的导数（和值）。我推荐的方法可以用于任何语言。

double  pol_eval_d( double x, int deg, const double* c, double* pdp)
{
double  p = c[deg];
double  dp = 0.0;
    for( int d=deg-1; d>=0; --d)
    {   dp = fma( dp, x, p);
        p = fma( p, x, c[d]);
    }
    *pdp = dp;
    return p;
}

此函数获取 x 值、多项式的次数和系数，并返回多项式在 x 处的值及其在 *pdp 中的导数。

系数是 c[0]（幂 0）、c[1]（幂 1）、.. 和 c[deg]（幂度）。

它调用（C 数学库）函数 fma，为此

fma(x,y,z) = x*y+z, except that it is evaluated with extra precision.

如果你没有这样的函数，你可以用上面的表达式替换调用，虽然你会失去一点准确性。

使用的方法是霍纳的方法。这通常比其他评估多项式的​​方法更快、更准确。

为了解释它的工作原理，首先考虑我们不想要导数的情况。然后就可以写了

double  pol_eval( double x, int deg, const double* c)
{
double  p = c[deg];
    for( int d=deg-1; d>=0; --d)
    {   p = fma( p, x, c[d]);
    }
    return p;
}

如果我们逐步了解二次方程的情况，并将 fma 调用替换为它们的数学等价物，我们会得到

p = c[2]
p = p*x + c[1]
p = p*x + c[0]

那是我们已经评估了

c[0]+x*c[1]+x*x*c[2] 

通过

c[0] + x*(c[1] + x*c[2])

这是霍纳的方法。

为了计算导数，我们区分 pol_eval 中的每个项。最初p是一个常数，所以它的导数是0。然后当我们更新p时

p = fma( p, x, c[d]);

或用数学术语表示

p = p*x + c[d];

我们使用乘积规则来区分它，所以因为 c[d] 是一个常数

dp = dp*x + p

请注意，我们必须在更新之前执行此操作 p

Answer 3

使用允许符号微分的 Python Sympy

代码

from sympy import Function, Symbol

def polynomial(coeficents, degrees, x):
    '''
        Evaluate polynomial
        
        Example
            coefficients = [1, 2, 4]
            degrees = [2, 1, 0]
            
            corresponds to polynomial x^2 + 2*x + 4
    '''
    return sum([coeficents[i]*x**degrees[i] for i in range(len(coeficents))])
         
# Using OP polynomial
coefficients = [1, 5, 7, 2]
degrees = [3, 2, 1, 0]
print(polynomial(coefficients, degrees, -2))  # Output: 15

# Create symbolic polynomial in x
# Define symbolic variable x
x = Symbol('x')  # symbolic variable x

# Create polynomial in x for OP polynomial
poly = polynomial(coefficients, degrees, x)
print(poly)                                  # Output: x**3 + 5*x**2 + 7*x + 2
# Evaluate at x = -2
print(poly.subs(x, -2))                      # Output: 7  (i.e. substitute x for 1 in equation)

####################################################
# Symbolic differentiation of polynomial 'poly'
####################################################
diff_poly = poly.diff(x)
print(diff_poly)                             # Output: 3*x**2 + 10*x + 7 (derivative of polynomial)
# Evaluate derivative at x = -2
print(diff_poly.subs(x, -2))                 # Output: -1   (derivate at x = -1)