O(V+E) 和 O(ElogE) 哪个更好？答案

【问题标题】：Which one is better O(V+E) or O(ElogE)?O(V+E) 和 O(ElogE) 哪个更好？
【发布时间】：2018-05-01 16:47:20
【问题描述】：

我正在尝试开发一种能够从图中找到最小生成树的算法。我知道已经有很多现有的算法。但是我试图消除 Kruskal 算法中所需的边排序。到目前为止，我开发的算法有一部分需要计算不相交的集合，我需要一种有效的方法。经过大量研究，我知道唯一可能的方法是使用复杂度为 O 的 BFS 或 DFS (V+E)，而 Kruskal 算法的复杂度为 O(ElogE)。现在我的问题是，O(V+E) 还是 O(ElogE) 哪个更好？

【问题讨论】：

假设没有环，V 可以用E 表示，使用欧拉公式。因此O(V+E) 实际上只是O(E)。由于O(n) < O(nlogn)，O(E + V) ~= O(E) < O(ElogE) 。我不确定我的数学，所以将其发布为评论而不是答案
@Srini 您不能假设没有循环，因为问题是关于计算图的最小生成树（因此是无向的并且具有潜在的非平凡循环）。然而，假设有一棵树可以找到，我们可以安全地假设V <= E
@Rerito 好点，我忽略了循环方面，因为我不确定如何处理欧拉平面图公式的V - E + F = 2 的F 组件。但我想如果 OP 或其他人能够弄清楚如何处理这个问题或证明 V 仍然与 E 共享线性关系，那么我想他们仍然可以建立在这个论点上
并行运行两种算法并在一个完成后立即停止会给您带来复杂性O(min(V+E, E Log E))，这始终是最好的。

标签： algorithm time-complexity graph-theory breadth-first-search kruskals-algorithm

【解决方案1】：

一般来说，E = O(V^2)，但对于所有图来说，这个界限可能并不紧密。特别是在稀疏图中，E = O(V)，但对于算法复杂度通常表示为最坏情况值。

O(V + E) 是一种表示复杂性取决于有多少边的方式。在稀疏图中O(V + E) = O(V + V) = O(V)，而在密集图中O(V + E) = O(V + V^2) = O(V^2)。

另一种看待它的方式是，在大 O 表示法中，O(X + Y) 与 O(max(X, Y)) 的含义相同。

请注意，这仅在 V 和 E 可能具有相同幅度时才有用。对于 Kruskal 算法，主要因素是您需要对边列表进行排序。无论你有一个稀疏图还是密集图，这一步都支配着任何可能是O(V) 的东西，所以人们只需写O(E lg E) 而不是O(V + E lg E)。

【讨论】：

您能介绍一下 O(ElogE) 吗？
Kruskal 的算法涉及对边列表进行排序，因此无论您有一个稀疏图还是密集图，这将主导简单地迭代无序列表的成本。 “加法”术语 V 在任何一种情况下都无关紧要，所以只写 O(E lg E) 而不是 O(V + E lg E)。