大素数的费马素数检验

Question

我目前正在尝试为一个学校项目实施 RSA 加密算法。在研究之后，我认为生成我自己的素数也会很有趣。我正在使用 gmp 库来存储数字。

一些消息来源说这通常是通过使用筛分方法然后对数字进行概率测试来完成的，在我的例子中，我从费马测试开始：

a^(potPrime-1) ≡ 1 (mod potPrime)

我遇到的问题是计算“a^(potPrime-1)”，我在 gmp 库中找不到可以计算 mpz_t 幂另一个 mpz_t 的函数，所以我编写了自己的函数，这确实是一段时间一直循环，直到我将数字乘以所需的次数。 这适用于小数字，但是当 potPrime 可以达到 2^2048 时，这个解决方案是不够的。

有谁知道我该如何解决这个问题？这是 Fermat 测试的代码：

int fermatTest(mpz_t potPrime, mpz_t a) //The fermat test is a mathimatical test that will determine if a number is potentialy prime.
{                                       //a is a random number between ]1;p-1[
    int result;
    mpz_t potPrimeMin1,aSqPotPrimeMin1,val1; //decalre mpz type value, val1=1
    mpz_init(potPrimeMin1); //initialises the mpz type value of the number containing potPrime minus 1
    mpz_init(aSqPotPrimeMin1);//value of a^(p-1)
    mpz_init(val1); //a mpz type var where val1 is allways 1
    mpz_set_ui(val1,1);

    mpz_sub_ui(potPrimeMin1,potPrime,1); //subtracts 1 from potPrime and stores it in potPrimeMin1

    mympz_pow(aSqPotPrimeMin1,a,potPrimeMin1);//aSqPotPrimeMin1=a^potPrimeMin1

    result = mpz_congruent_p(aSqPotPrimeMin1,val1,potPrime); //test checks if a^(potPrime-1) ≡ 1 (mod potPrime) - returns non zero if congruent

    //returns non zero if operation is true, 0 if not

    mpz_clear(potPrimeMin1);//frees the variables used
    mpz_clear(aSqPotPrimeMin1);
    mpz_clear(val1);

    return result;
}

这是 pow 函数的代码：

int mympz_pow(mpz_t result, mpz_t base, mpz_t power)
{
    mpz_t i;
    mpz_init(i);
    mpz_set_ui(i,1);
    mpz_set(result,base);
    //mpzPrint("1",result);
    while(mpz_cmp(i,power) < 0)
    {
        mpz_mul(result,result,base);
        //mpzPrint("2",result);
        mpz_add_ui(i,i,1);
        mpzPrint("pow",power);
        mpzPrint("i",i);
    }
    //mpzPrint("3",result);
    mpz_clear(i);
    return 1;
}

Answer 1

Gmp 有一个函数mpz_powm 进行模幂运算。如果你想自己做，使用平方和乘法算法：

function powerMod(b, e, m)
    x := 1
    while e > 0
        if e%2 == 1
            x, e := (x*b)%m, e-1
        else b, e := (b*b)%m, e//2
    return x

这需要指数的对数时间而不是线性时间，就像您的算法那样。或者您可能更喜欢使用mpz_probab_prime_p，让 gmp 为您完成所有工作。