代码：
void prime()
{
int i,N;
scanf("%d",&N);
for(i=2;i<N;i++)
{
if (((i^(N-1))%N )==1);
else{
printf("not prime");
return;
}
}
printf("prime");
return;
}
该程序基于关于素数的费马定理。 N 是要作为素数进行测试的数。该程序未显示“11”的正确结果。可能是因为一些我没有发现的错误。
【问题讨论】：
标签： c primality-test
如果我把你的代码读成伪代码，你就溢出了。
10^10 大于2^31 -1，这是大多数int 的最大值。您可以使用 long 为 N=11 解决这个问题，但这不会让您走得太远，您也会在某个时候开始溢出。
这个定理，至少是这样表达的，对于有限长度的数字是非常不切实际的。
现在，如果您的代码是真实的C，请注意^ 表示XOR，而不是求幂。求幂是pow()。感谢评论者指出这一点。
【讨论】：
如果这是伪代码或
，您将遇到溢出
如果是 C 代码，使用^ 作为幂运算符是无效的。
处理大整数很快成为 C 中的一个问题。有各种可用的BigInt 库。
在大整数计算中使用浮点具有挑战性。建议避开double、pow()等。
由于问题都是 >= 0，建议使用无符号整数。还要使用可用的最大整数类型 - 通常是 unsigned long long。由于溢出是一种真实的可能性，请检测它。
unsigned long long upower(unsigned i, unsigned N) {
unsigned long long power = 1;
if (i <= 1) return i;
while (N-- > 0) {
unsigned long long power_before = power;
power *= i;
if (power < power_before) {
printf("Overflow\n");
return 0;
}
}
return power;
}
void prime() {
unsigned i, N;
scanf("%u", &N);
for (i = 2; i < N; i++) {
if ((upower(i, N - 1) % N) != 1) {
printf("not prime");
return;
}
}
printf("prime");
return;
}
Chinese remainder theorem 可能提供(upower(i, N - 1) % N) != 1 的替代方案，而不是大整数。
【讨论】：
ULLONG_MAX。对于 64 位 unsigned long long -> N <= 16。
在这里可以应用模块化数学规则和原理来表明为了计算
(i ^ (N-1)) % N,
你甚至不需要一开始就计算 i^(N-1)。 您可以轻松地将 (N-1) 分解为 2 的幂。 让我们举个例子说得更清楚。
假设我们的素数测试的主题，N = 58。
所以，
N - 1 = 57
57 可以很容易地改写为：
57 = 1 + 8 + 16 + 32
或者，
57 = 2^0 + 2^3 + 2^4 + 2^5
所以，用这个值代替 N-1，我们需要计算
(i ^ (2^0 + 2^3 + 2^4 + 2^5))% 58
或者，
((i^1) × (i^8) × (i^16) × (i^32))% 58
其中，使用Modular Multiplication 身份，可以重写为：
((i^1)% 58 × (i^8)% 58 × (i^16)% 58 × (i^32)% 58) mod 58 ---(1)
请注意，
(i^1)% 58 = i%58
可以轻松计算而无需担心任何溢出。
再次利用模乘恒等式，我们知道
(i^2)% 58 = ((i^1)% 58 × (i^1)% 58)% 58
代入(i^1)%58的值，求(i^2)%58。
您可以继续以这种方式计算 (i^4)% 58 到 (i^32)% 58。一旦完成，您最终可以将 (1) 中的值替换为最终找到所需的值，非常有效地避免任何溢出。
请注意，还存在其他 modular exponientation 技术。这只是展示如何使用模块化数学技术来实现 Fermat 的小素性检验的一个示例。
干杯！
【讨论】：
很抱歉稍微更改您的代码。使用 BigInteger 类，您可以非常快速地计算更大的数字。但是，您可以使用此方法不按顺序获取素数，而是测试是否有素数。
using System;
using System.Numerics;
public class Program
{
public static void Main()
{
Console.WriteLine(2);
for(var i = 3; i < 100000; i+=2)
{
if(BigInteger.ModPow(2, i , i) == 2)
Console.WriteLine(i);
}
}
}
https://dotnetfiddle.net/nwDP7h
此代码在以下数字中会产生错误结果。
https://oeis.org/a001567 https://oeis.org/a006935
要修复这些错误，您需要编辑代码如下，并在这些数字中进行二进制搜索，以测试该数字是否为伪素数。
public static bool IsPrime(ulong number)
{
return number == 2
? true
: (BigInterger.ModPow(2, number, number) == 2
? (number & 1 != 0 && BinarySearchInA001567(number) == false)
: false)
}
public static bool BinarySearchInA001567(ulong number)
{
// Is number in list?
// todo: Binary Search in A001567 (https://oeis.org/A001567) below 2 ^ 64
// Only 2.35 Gigabytes as a text file http://www.cecm.sfu.ca/Pseudoprimes/index-2-to-64.html
}
【讨论】：