在给定范围内有多少个数具有最大数量的唯一素因数答案

【问题标题】：How many numbers have a maximum number of unique prime factors in a given range在给定范围内有多少个数具有最大数量的唯一素因数
【发布时间】：2016-10-27 21:08:52
【问题描述】：

请注意，除数必须是唯一的

所以 32 有 1 个唯一的素因数 [2]，40 有 [2, 5] 等等。

给定一个范围 [a, b], a, b <= 2^31，我们应该找出这个范围内有多少个数具有最大的唯一除数。

我能想象到的最好的算法是改进的埃拉托色尼筛法，用一个数组计算一个数字有多少个素因子。但不仅是O(n)，在这样的范围内是不能接受的，而且在内存方面也非常低效。

解决这个问题的最佳算法是什么？有这样的算法吗？

【问题讨论】：

最大数量还是特定数量？ IE。因子数
因为如果它是绝对最大值，那么您只需将运行乘积乘以下一个最低的素数，直到突破上限（毕竟最大数量的因子意味着最终的最小增加每一步的乘积，表示最小的适用除数）。
最大数量。 [30, 45] 返回 2，因为 30 和 42 都有 3 个唯一的素数除数。其他数字更少

标签： algorithm math prime-factoring

【解决方案1】：

我将用类似 Python 的伪代码编写第一个想法。首先找出您最多可能需要多少个质因数：

p = 1
i = 0
while primes[i] * p <= b:
    p = p * primes[i]
    i = i + 1

这仅使用了 b，而不是 a，因此您可能必须减少实际素因数的数量。但是由于上面的结果最多为 9（因为前 10 个素数的乘积已经超过 2³¹），你可以想象一次从这个最大值往下走：

cnt = 0
while cnt == 0:
    cnt = count(i, 1, 0)
    i = i - 1
return cnt

所以现在我们需要实现这个函数count，这是我递归定义的。

def count(numFactorsToGo, productSoFar, nextPrimeIndex):
    if numFactorsToGo > 0:
        cnt = 0
        while productSoFar * primes[nextPrimeIndex] <= b:
            cnt = cnt + count(numFactorsToGo - 1,
                              productSoFar * primes[nextPrimeIndex],
                              nextPrimeIndex + 1)
            nextPrimeIndex = nextPrimeIndex + 1
        return cnt
    else:
        return floor(b / productSoFar) - ceil(a / productSoFar) + 1

这个函数有两种情况需要区分。在第一种情况下，您还没有所需数量的素数。所以你乘以另一个素数，它必须大于迄今为止产品中已经包含的最大素数。您可以通过从下一个素数的给定索引开始来实现这一点。您添加所有这些递归调用的计数。

第二种情况是您已达到所需数量的素数。在这种情况下，您要计算所有可能的整数 k 使得 a ≤ k∙p ≤ b。这很容易转化为 ⌈a/p⌉ ≤ k ≤ ⌊b/p⌋ 所以计数将是 ⌊b/p⌋ − ⌈a/p⌉ + 1。一个实际的实现我不会使用浮点除法和floor 或ceil，而是为了性能而使用截断整数除法。所以我可能会把这一行写成

        return (b // productSoFar) - ((a - 1) // productSoFar + 1) + 1

正如现在所写，您需要预先计算出最多 2³¹ 的 primes 数组，这将是一个包含 105,097,565 个数字 according to Wolfram Alpha 的列表。这将导致相当大的内存需求，并且还会使外部循环（productSoFar 仍然很小）迭代大量以后不需要的素数。

您可以做的一件事是更改循环结束条件。您可以检查是否可以在乘积中包含下一个primesToGo 素数而不超过b。如果主要因素的总数很大，这将允许您提前结束循环。

对于少数几个主要因素，事情仍然很棘手。特别是如果你有一个非常窄的范围 [a, b] 那么具有最大素因子计数的数字很可能是一个大素因子乘以非常小的素数的乘积.例如 [2147482781, 2147482793]。这个区间包含4个元素和4个不同的因子，其中一些包含相当大的素因子，即

3 ∙ 5 ∙ 7 ∙ 20,452,217
2² ∙ 3 ∙ 11 ∙ 16,268,809
2 ∙ 5 ∙ 19 ∙ 11,302,541
2³ ∙ 7 ∙ 13 ∙ 2,949,839

因为直到 sqrt(2³¹) 只有 4,792 个素数，其中最大的是 46,337（适合 16 位无符号整数）。可以只预先计算那些，并使用它来分解范围内的每个数字。但这又意味着迭代范围。这适用于小范围，但不适用于大范围。

所以也许您需要预先区分这些情况，然后相应地选择算法。我不知道如何结合这些想法——但是。如果其他人这样做，请随时扩展此帖子或在此基础上编写您自己的答案。

【讨论】：