在一个非常大的给定整数范围内找到所有素数的程序

Question

我在编程网站上遇到了以下问题： Peter 想为他的密码系统生成一些素数。帮助他！你的任务是生成两个给定数字之间的所有素数！

输入

输入以单行中的测试用例数量 t (t

我想出了以下解决方案：

import java.util.*;

public class PRIME1 {
    static int numCases;
    static int left, right;
    static boolean[] initSieve = new boolean[32000];
    static boolean[] answer;

    public static void main(String[] args) {
        Scanner sc = new Scanner(System.in);
        numCases = sc.nextInt();
        initSieve[0] = true;
        initSieve[1] = true;
        Sieve();
        for (int j = 0; j < numCases; j++) {
            String line = sc.next();
            String line2 = sc.next();
            left = Integer.parseInt(line);
            right = Integer.parseInt(line2);
            answer = new boolean[right - left + 1];
            getAnswer();
            for (int i = 0; i < answer.length; i++) {
                if (!answer[i]) {
                    int ans = i + left;
                    System.out.println(ans);
                }
            }
            System.out.println();
        }
    }

    public static void Sieve() {

        for (int i = 2; i < 32000; i++) {
            if (!initSieve[i]) {
                for (int j = 2 * i; j < 32000; j += i) {
                    initSieve[j] = true;
                }
            }
            if (i * i > 32000)
                break;
        }
    }

    public static void getAnswer() {
        for (int i = 2; i < 32000 && i <= right; i++) {
            if (!initSieve[i]) {
                int num = i;
                if (num * 2 >= left) {
                    num *= 2;
                } else {
                    num = (num * (left / num));
                    if (num < left)
                        num += i;
                }
                for (int j = num; j >= left && j <= right; j += i) {
                    answer[j - left] = true;
                }
            }
        }
    }
}

在阅读了一些建议后，我编辑了我的解决方案。我仍然收到超出时间限制的错误。关于如何进一步优化这一点的更多建议？我正在计算直到 32000 的所有素数，然后使用这些来找到 n 到 m 之间的素数。

谢谢， 罗希特

Answer 1

给你

1

这些都是非常小的数字。要筛选上限为n 的范围，您需要√n 的素数。在这里你知道n <= 10^9，所以√n < 31623，所以你最多需要31621的素数。有3401。你可以在几微秒内用标准筛子生成它们。

然后您可以通过标记您之前筛选过的素数的倍数来简单地筛选从m 到n 的小范围，当素数超过√n 时停止。通过从筛子中消除一些小素数的倍数可以获得一些加速，但逻辑变得更加复杂（您需要特别对待具有小m 的筛子）。

public int[] chunk(int m, int n) {
    if (n < 2) return null;
    if (m < 2) m = 2;
    if (n < m) throw new IllegalArgumentException("Borked");
    int root = (int)Math.sqrt((double)n);
    boolean[] sieve = new boolean[n-m+1];
    // primes is the global array of primes to 31621 populated earlier
    // primeCount is the number of primes stored in primes, i.e. 3401
    // We ignore even numbers, but keep them in the sieve to avoid index arithmetic.
    // It would be very simple to omit them, though.
    for(int i = 1, p = primes[1]; i < primeCount; ++i) {
        if ((p = primes[i]) > root) break;
        int mult;
        if (p*p < m) {
            mult = (m-1)/p+1;
            if (mult % 2 == 0) ++mult;
            mult = p*mult;
        } else {
            mult = p*p;
        }
        for(; mult <= n; mult += 2*p) {
            sieve[mult-m] = true;
        }
    }
    int count = m == 2 ? 1 : 0;
    for(int i = 1 - m%2; i < n-m; i += 2) {
        if (!sieve[i]) ++count;
    }
    int sievedPrimes[] = new int[count];
    int pi = 0;
    if (m == 2) {
        sievedPrimes[0] = 2;
        pi = 1;
    }
    for(int i = 1 - m%2; i < n-m; i += 2) {
        if (!sieve[i]) {
            sievedPrimes[pi++] = m+i;
        }
    }
    return sievedPrimes;
}

使用BitSet 或任何其他类型的打包标志数组将减少内存使用量，因此由于更好的缓存局部性可能会显着提高速度。

Answer 2

使用 BitSet 而不是布尔数组。

public static BitSet primes (final int MAX)
{
     BitSet primes = new BitSet (MAX);
     // make only odd numbers candidates...
     for (int i = 3; i < MAX; i+=2)
     {
        primes.set(i);
     }
     // ... except no. 2
     primes.set (2, true);
     for (int i = 3; i < MAX; i+=2)
     {
        /*
            If a number z is already  eliminated (like 9),
             because it is itself a multiple of a prime 
            (example: 3), then all multiples of z (9) are
            already eliminated.
        */
        if (primes.get (i))
        {
            int j = 3 * i;
            while (j < MAX)
            {
                if (primes.get (j))
                    primes.set (j, false);
                j += (2 * i);
            }
        }
    }
    return primes;
}   

Answer 3

您是否有 将结果存储在数组中？计算给定整数是否为素数并仅为{left,left+1,...,right}中的每个数字调用它的方法怎么样？

Answer 4

访问 isNotPrime 数组时始终可以使用偏移量。

给定 m，n：

boolean[] isNotPrime = new boolean[n-m+1];

// to now if number x is primer or not
boolean xIsPrime = isNotPrime[x-m];

这里 m 是偏移量。

Answer 5

您不必拥有一个大数组：您可以保留到目前为止找到的素数列表，并使用多个数组进行测试，值 = array_slot + offset（已经测试过的值）。完成从 i 到 j 的值后，将 j-i 添加到 offset 并从 J 开始一个新数组。

您可以从数组中删除偶数，这样可以节省一些空间（值 = array_slot * 2 - 1）。

Answer 6

由于 m 和 n 之间的距离相对较小，因此您可以对 m 和 n 之间的每个数字进行暴力破解并使用快速素数测试算法。

如果您允许概率算法，您可以使用Miller-Rabin test。让 M = n-m

对于问题的极限，这个复杂度将在 10^9 左右。