给定范围内数字因子的最大和

Question

这是我在一些在线评委平台上一直在做的一个问题。

求从 1 到 N 的数的最大因子和。

例如，如果 N 为 11，则答案将为 18。从 1 到 11 的因子之和最大的数字是 10 (1 + 2 + 5 + 10)。

我实现了一个看起来像筛子的相对简单的解决方案。 C++中的代码如下所示：

for (int i = 1; i <= 1000000; ++i {
    for (int j = i; j <= 1000000; j += i) {
        num[j] += i;
    }
    mx[i] = max(num[i], mx[i - 1]);
}

每当用户查询某个 N 时，我都会简单地输出 mx[N]。这个解决方案似乎是正确的。但是，对于较大的输入，它超过了时间限制（1s）。最大 N 为 1,000,000，但用户可以查询 1,000,000 个不同的 N 值。以上代码是运行一次的预处理代码。

上面代码的复杂度是N + N / 2 + N / 3 + ... + 1，我猜大概是N Log N。如何提高这段代码的复杂度？

感谢您的帮助。

Answer 1

这个问题的答案是：Highly Abundant Number
您可以从这里获取序列：A002093

其实我查了一下，10^10以下的高丰度数都是41-smooth数，10^13以下是61-smooth数。
N-光滑数可以分解N以下的素数。
您可以像这个算法一样搜索 n-smooth 数（例如 10^16 以下的 47-smooth 数）：

vector<int> p = { 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47 };
vector<long long> s = { 1 }; long long lim = 10000000000000000;
for (int i = 0; i < p.size(); i++) {
    vector<long long> w;
    for (long long j : s) {
        long long mul = j;
        for (; mul <= lim; mul *= p[i]) w.push_back(mul);
    }
    s = w;
}

您可以在O(log N + log X) 中分解N-平滑数X，因此您可以计算divisor function 为O(log N + log X)。

我给出了我的代码的结果，例如，我使用 1GB 内存在 3.5 秒内计算了 10^13 以下的所有 61 个平滑数字。