对于 N < 2^63 的素数分解算法，用 UInt64 替换 BigInteger

Question

我有一个使用 Pollard's Rho and Brent's algorithms 在 VB.Net 中使用 BigInteger 实现素数分解的好解决方案（请参阅：https://stackoverflow.com/a/31978350/44080）

对于N< 2^63，我相信UInt64 应该足够大，并且可能（很多？）更快。

但是我的UInt64 转换在此行失败：

y = ((y^2) Mod n + c) Mod n 'fails when y^2 > UInt64.Max

将此行改为

y = CULng((CDbl(y^2) Mod n + c) Mod n)

由于类型转换处于循环中，因此会降低性能。

请问我该如何解决这个问题？

如果我们能绕过上述问题，我仍然认为 UInt64 将胜过 BigInteger。

编辑：

我刚刚发现：Dirichlet .NET Number Theory Library，它声称 Int128 和 Int256 的性能优于 .Net BigInteger。

它甚至有几个优化的素数分解算法。本可以为我节省 2 天的研究和测试时间。

Answer 1

如何在不溢出的情况下执行模乘（计算平方）：

只要模数至少比最大值小一位，解决方案是将数字分成低位和高位两半，然后逐个执行算术运算，有点像小学乘法乘以个位，然后移动总和并乘以十位，依此类推，除了“数字”是整数数据类型中可以表示的最大数的平方根的大小。

考虑使用 8 位算术以 100 为模计算 56 * 37 的示例，因此中间总和不可能是 256 或更大。我们首先表示 a = 56 = 3 * 16 + 8 和 b = 37 = 2 * 16 + 5，（注意 16 是 256 的平方根）所以：

a1 = 8
a2 = 3
b1 = 5
b2 = 2

那么四个中间产品及其班次是：

p11 = 8 * 5 = 40
p12 = 8 * 2 = 16 > 32 > 64 > 128 (28) > 56
p21 = 3 * 5 = 15 > 30 > 60 > 120 (20) > 40
p22 = 3 * 2 = 6 > 12 > 24 > 48 > 96 > 192 (92) > 184 (84) > 168 (68) > 136 (36)

我们使用二进制算术，因此每个数字在移动时都会加倍，并在我们进行时取模 100。两个低半数的乘积不移位，低半数和高半数的乘积移位 4 次（因为 log₂ 16 = 4），两个高数的乘积-half 数字移位 8 次。然后将中间乘积相加，每次中间和超过 m 时再次删除 m：

s = 40 + 56 = 96
s = 96 + 40 = 136 (36)
s = 36 + 36 = 72

这就是最终答案：56 * 37 = 2072，即 72（模 100）。

如果 m 在整数数据类型的最大值的一位范围内，事情会变得更糟；基本答案是分成三部分，计算中间产品，然后重新组合。

请参阅my blog 了解 Scheme 中的代码，以及使用稍微不同算法的 C 中贡献的解决方案。