确定 N 是否为素数（如果 N 为 [2 <= N <= 2^63-1]）的最佳算法是什么？答案

【问题标题】：What is the best algorithm to determine if N is a prime number (if N is [2 <= N <= 2^63-1])?确定 N 是否为素数（如果 N 为 [2 <= N <= 2^63-1]）的最佳算法是什么？
【发布时间】：2020-09-25 14:18:07
【问题描述】：

我尝试使用 Miller-Rabin 算法，但它无法检测到非常大的数字。

#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <stdlib.h>

long long mulmod(long long a, long long b, long long mod)
{
    long long x = 0,y = a % mod;
    while (b > 0)
    {
        if (b % 2 == 1)
        {    
            x = (x + y) % mod;
        }
        y = (y * 2) % mod;
        b /= 2;
    }
    return x % mod;
}

long long modulo(long long base, long long exponent, long long mod)
{
    long long x = 1;
    long long y = base;
    while (exponent > 0)
    {
        if (exponent % 2 == 1)
        {
            x = (x * y) % mod;  
        }
        y = (y * y) % mod;
        exponent = exponent / 2;
    }
    return x % mod;
}

int Miller(unsigned long long int p, int iteration)
{
    int i;
    long long s;
    if (p < 2)
    {
        return 0;
    }
    if (p != 2 && p % 2==0)
    {
        return 0;
    }
    s = p - 1;
    while (s % 2 == 0)
    {
        s /= 2;
    }
    for (i = 0; i < iteration; i++)
    {
        long long a = rand() % (p - 1) + 1, temp = s;
        long long mod = modulo(a, temp, p);
        while (temp != p - 1 && mod != 1 && mod != p - 1)
        {
            mod = mulmod(mod, mod, p);
            temp *= 2;
        }
        if (mod != p - 1 && temp % 2 == 0)
        {
            return 0;
        }
    }
    return 1;
}

int main()
{
    int iteration = 5, cases;
    unsigned long long int num;
    scanf("%d", &cases);
    for(int i = 0; i < cases; i++)
    {
        scanf("%llu", &num);
        if(Miller(num, iteration))
        {
            printf("YES\n");    
        } 
        else
        {
            printf("NO\n");
        }   
    }
    return 0;
}

输出示例：

10 //cases
1
NO
2
YES
3
YES
4
NO
5
YES
1299827
YES
1951
YES
379
YES
3380
NO
12102
NO

我正在尝试通过创建一个程序来判断数字是否为素数，如果素数则打印 YES，否则打印 NO。但是，每次我将代码提交给在线评委时，它只会显示“错误答案”，而即使我最后一次尝试做作业也没有任何有效的算法，它会显示“超出时间限制”。

当N为[2

【问题讨论】：

请提供此类输入的示例
return x % mod; 可以写成return x;，因为x 总是更新% mod（也许编译器对其进行了优化……但为什么要相信编译器呢？）。
你得到最大可能的质数 P 小于 2^63 并且对于给定的 N 计算 N^(P-1) mod P 并查看它是否为 1。
在 Linux Debian 上，您可以找到几个开源素数生成器（例如 primesieve-bin 包）。另请阅读primality test 上的维基页面。阅读 Modern C 和您的 C 编译器（例如 GCC...）和调试器（例如 GDB...）的文档
米勒-拉宾的重点是将非常个大素数从复合物中分离出来；小于 64 位的数字根本不是“非常大”。如果您正确实施，Miller-Rabin 绝对可以工作。

标签： c primality-test

【解决方案1】：

OP 的代码有许多溢出 63 位数学的可能性。例如x * y in x = (x * y) % mod;

至少，建议去 unsigned 数学。例如：long long --> unsigned long long 或简单的uintmax_t。

对于不会溢出的mulmod()：Modular exponentiation without range restriction。

稍后我会对此进行更多研究。 GTG。

【讨论】：