拉宾米勒算法

Question

我正在尝试理解 Rabin Miller 算法，但我对其中的一部分感到困惑。请帮助理解它。

我的理解： 我们在 2^d*s 中计算 's'，然后我们取一个随机整数 'a' 并计算 a^s%p，如果它等于 1，那么 p 是可能的素数。否则，如果对于任何 'r' a^(r*s)%p = -1 那么我们将在下一次平方中得到 1，因此 p 是素数。 在第一次迭代中，如果 x=1；然后我们在 if 语句中检查它，但是在第一次迭代之后 if 语句的意义是什么，我不明白。请帮忙...

令人困惑的部分：

if(mod!=p-1 && temp%2==0){
                return false;
            }

原始米勒实施：

bool Miller(long long p,int iteration){
    if(p<2){
        return false;
    }
    if(p!=2 && p%2==0){
        return false;
    }
    long long s=p-1;
    while(s%2==0){
        s/=2;
    }
    for(int i=0;i<iteration;i++){
        long long a=rand()%(p-1)+1,temp=s;
        long long mod=modulo(a,temp,p);
        while(temp!=p-1 && mod!=1 && mod!=p-1){
            mod=mulmod(mod,mod,p);
            temp *= 2;
        }
        if(mod!=p-1 && temp%2==0){
            return false;
        }
    }
    return true;
}

Answer 1

M-R 见证的定义是a，因此a**s != 1 (modulo p) 和a**(2**r * s) != -1 (modulo p) 对应所有r。当mod（其值为a**(2**r * s)）满足mod == 1 (modulo p) 或mod == -1 (modulo p) 时，循环退出。

如果mod == 1 (modulo p)，则满足作为 M-R 见证的第二个属性，因为到目前为止 a**(2**r * s) 的每个值都与 -1 (mod p) 不一致，并且未来的值都不一致，因为它们是所有1 (mod p)。鉴于第二个属性成立，第一个属性a**s != 1 (modulo p) 成立当且仅当循环体至少执行一次。最初是temp == s，最多是(p - 1)/2，而mod != p - 1是第二个属性。我们有temp % 2 == 0 当且仅当循环体至少执行一次。