作为我自己的练习，我正在实施 Miller-Rabin 测试。 （通过 SICP 工作）。我理解费马的小定理，并且能够成功地实现它。我在 Miller-Rabin 测试中被绊倒的部分是这个“1 mod n”业务。 1 mod n（n是一些随机整数）不是总是1吗？所以我对“1 模 n 的非平凡平方根”可能是什么感到困惑，因为在我看来，“1 mod n”在处理整数值时始终为 1。我错过了什么？
【问题讨论】：
标签： algorithm primes sicp prime-factoring primality-test
1 等于 9 mod 8 所以 3 是 1 mod 8 的非平凡平方根。
您使用的不是单个数字，而是等价集。 [m]n 是所有数字 x 的集合，因此 x 与 m mod n 一致。任何与这个集合的任何元素平方的东西都是m 模n 的平方根。
给定任何n，我们有一组以n为模的整数，我们可以写成Zn。这是（一组）[1]n、[2]n、...、[n]n。每个整数都位于这些集合中的一个且只有一个。我们可以通过[a]n + [b]n = [a + b]n 在这个集合上定义加法和乘法，同样地也可以用于乘法。所以[1]n 的平方根是[b]n 的（n 个元素），这样[b*b]n = [1]n。
不过在实践中，我们可以将m 与[m]n 混为一谈，并且通常选择[m]n 的唯一元素m'，这样0 <= m' < n 作为我们的“代表”元素：这是我们通常认为的作为m mod n。但重要的是要记住，正如数学家所说，我们正在“滥用符号”。
这里有一些（非惯用的）python 代码，因为我没有方案解释器 ATM：
>>> def roots_of_unity(n):
... roots = []
... for i in range(n):
... if i**2 % n == 1:
... roots.append(i)
... return roots
...
>>> roots_of_unity(4)
[1, 3]
>>> roots_of_unity(8)
[1, 3, 5, 7]
>>> roots_of_unity(9)
[1, 8]
因此，特别是（查看最后一个示例），17 是单位模 9 的根。实际上，17^2 = 289 和 289 % 9 = 1。回到我们之前的符号 [8]9 = [17]9 和 ([17]9)^2 = [1]9
【讨论】：
我认为误解来自于书中对非平凡根的定义：
“1 模 n 的非平凡平方根”，即不等于 1 或 n - 1 其平方等于 1 模 n
我认为应该说的地方：
其平方全等到 1 模 n
【讨论】：
这就是为什么措辞是 1 的非平凡平方根的原因。对于任何模数 n，1 都是 1 的平凡平方根。
17 是 1 的非平凡平方根，模 144。因此 17^2 = 289，等于 1 模 144。如果 n 是素数，则 1 和 n-1 是 1 的两个平方根，并且它们是仅有的两个这样的根。然而，对于复合 n，通常有多个平方根。当 n = 144 时，平方根为 {1,17,55,71,73,89,127,143}。
【讨论】：