如果 m != n，确定 n^m = m^n 的最快方法是什么？

Question

这是hackerearth练习部分的问题之一。我们需要确定是否 m^n = n^m。当 n = m 时它是微不足道的，所以我们关注 m != n。

1 <= m, n <= 10^10000

我试过的是

n^m = m^n  implies
m*log(n) = n*log(m)

但问题是如何记录如此庞大的数字？是否有其他检查相等性的方法？

Answer 1

让我们做一些数学运算来确定如何为解决方案编程：

很容易看出 n 和 m 都不能等于 1，因为它们必须不同且不能为空。让我们寻找 1 的解决方案。

正如您所说，n^m = mⁿ 意味着 m.log(n) = n.log(m )

因此我们正在寻找 m / log(m) = n / log(n) 和 1 的解决方案。

我们可以研究x > 1的函数f(x) = x / log(x)：

它的导数是f'(x) = (log(x) - 1) / log(x)²

导数在 x = e 处有一个零，f(x) 在 x = 1 和 之间严格递减x = e 并严格从 x = e 一直增加到无穷大。

任何 2 个不同的数字 n 和 m 使得 f(n) = f(m), n 必须是这样的1 和 m > e

n唯一可能的整数值为2，恰好是m对应值为4的解，区间内没有其他整数1 到 e。

因此唯一的解决方案是 n=2, m=4 和 n=4, m=2

这是一个输出所有可能结果的 C 程序：

#include <stdio.h>
int main() {
    printf("2 4\n");
    printf("4 2\n");
    return 0;
}