请注意，我在这里要求 little-o（请参阅类似问题 here）- 对于 big-o，这显然是错误的 - 对于 little-o 来说，感觉正确但似乎无法证明...
编辑：很高兴我提出了辩论 :) 为简单起见假设 f,g > 0
【问题讨论】：
标签： computer-science asymptotic-complexity little-o
至少如果 g(n) 收敛到正无穷大，则 n 收敛到正无穷大（如果 g(n) 不是很容易找到反例）。
证明草图：
先决条件：g(n) 收敛到正无穷大，n 收敛到正无穷大。
f(n) in o(g(n)) 表示：
for every eps > 0 exists a n0 so that for all n > n0 abs(f(n)) < abs(g(n)*eps).
形成如下：
2^abs(f(n)) < 2^abs(g(n)*eps) = (2^eps)^g(n) (for n > n0).
对于 eps
(2^eps)^n is in o(2^n) (as 2^eps < 2)
因此，对于每个 eps2 > 0 存在一个 n1，因此对于所有 n > n1
(2^eps)^n < eps2*(2^n).
选择 eps2 = eps 场：
(2^eps)^n < eps*(2^n) for all n > n1 (n1 is dependent on eps)
因为 g(n) -> pos.信息。对于 n -> 位置。信息。存在一个 n2 使得
g(n) > n1 for all n > n2
接着是
(2^eps)^g(n) < eps*2^g(n) for all n > n2.
所以对于每一个 0 = max(n0,n2) 所以
2^abs(f(n)) < 2^abs(g(n)*eps) = (2^eps)^g(n) < eps*2^g(n) for all n > n3.
对于每个 eps3 > 1 也：
2^abs(f(n)) < eps*2^g(n) < eps3*2^g(n)
所以对于每个 eps > 0 存在一个 n3 使得
2^abs(f(n)) < eps*2^g(n) for all n > n3
因为 2^f(n) 0 对于所有实数 x，它遵循
abs(2^f(n)) < abs(eps*2^g(n)) for all n > n3
q.e.d.
如果有不清楚或错误的地方，请发表评论。
编辑：关于其他 g(n) 的一些想法：
g(n) 的子序列受到限制，即它存在一些 x，因此对于所有 n > n0，不存在带有 abs(g(n))>=x 的 n0：
o(g(n)) 仅由在某个 n 之后为常数 0 或收敛到 0 的函数组成。那么 2^g(n) 也有一个受限子序列，但 2^f(n) 在之后为常数 1一点。
没有 n0 所以 g(n) > 0 对于所有 n > n0:
2^g(n)
【讨论】：
g->inf 用于n->inf，则不需要（从它开始）。如果 g(n) 没有（趋于无穷大），你能证明它或举一个反例吗？假设所有 n 的 g > 0。你的定义也是错误的 - o 意味着对于每个 c > 0 都有一个 n0 ： f n0 - 注意严格的不等式。假设 g,f >0。
(2^eps)^g(n) <= eps*2^g(n) for all n > n3. 你的意思是 eps2 吗？
for every eps > 0 一个合适的n0 st f n0 ！您的证明似乎表明，如果存在 eps
g -> inf 上：不需要。您只是在使用 g > 0。 g 很可能是有界的——我猜只要 f 变为零。编辑： (2^eps2)^g(n) n3 应为 (2^eps)^g(n) n3。在这一点上 - 回顾你的问题 - 你真的证明单个 eps1
这是一个答案。结果取决于g(n)的收敛性。
首先考虑相关限制：
lim(x->inf) log_2 ((2^(f(n))) / (2^(g(n))))
=
lim(x->inf) ( log_2(2^(f(n))) - log_2(2^(g(n))) )
=
lim(x->inf) ( f(n) - g(n) ) = lim(x->inf) ( g(n) * f(n) / g(n) - g(n) )
=
lim(x->inf) ( -g(n) ) = - lim(x->inf) g(n)
...现在，要将其转换为您帖子中原始问题的形式，如果切换限制和日志（我认为是）在数学上是正确的，那么我们将：
lim(x->inf) log_2 ((2^(f(n))) / (2^(g(n))))
=
log_2 lim(x->inf) ((2^(f(n))) / (2^(g(n)))).
现在，继续回答这个问题。如果它是是真的
2^(f(n)) = o(2^(g(n))),
那么在极限中，右手边就变成了
log_2 (0) = - inf
...所以在这种情况下，它一定是真的
lim(x->inf) g(n) = inf
这个结果似乎是有道理的。考虑f(x) = exp(-x) and g(x) = 1 - exp(-x)。显然，在这个例子中f(x) = o(g(x))。但是，2^(f(x)) is not o(2^(g(x))) 因为
lim(x->inf) (2^exp(-x)) / (2^(1-exp(-x))) = 1/2.
但是给定f(x) = exp(x), g(x) = exp(2x)，where也是f(x) = o(g(x))和wherelim(x->inf) g(x) = inf，满足上述条件，我们有
lim(x->inf) (2^exp(x)) / (2^exp(2x))
=
lim(x->inf) 1 / 2^(exp(x)*(exp(x) - 1)) = 0
所以2^(f(x)) = o(2^(g(x))).
【讨论】：
lim (g*f/g - g ) 到lim -g 的步骤对所有f 和g 都有效（至少不是没有一些理由/解释，因为g 可以去到无穷大比f/g 变为零快）。并且将限制与日志交换是正确的（对于正数，日志是连续的，这就是您所需要的）。我同意你的结论（这取决于g 的具体属性）。
eps，无论多么小，我们都有lim f(n)/g(n) < eps 用于n>N 和一些N（假设限制的大小是有意的）。因此，lim (gf/g-g) < lim (g*eps-g) = lim (g(eps-1) = lim (-g)。你认为？ （对于后面的步骤，它假设g>0，但如果g
g>0，而且还冲刷了lim f/g 的符号，所以也许这会影响事情，以及。
f(x) = x, g(x) = 2x, f(x) != o(g(x)) - 与另一个相同。考虑 f,g 为正
exp([2]x)，而不是[2]x。如前所述，对于另一种情况，它的目的是 f(x) != o(g(x))。
举个例子简单证明，
让 f(n) = 2log n 并且
g(n) = log n
（假设日志以 2 为底）
我们知道，2log n
2^(f(n)) = 2^log n^2 = n^2
2^(g(n)) = 2^log n = n
我们知道
n^2 不是 O(n)
因此，2^(f(n)) 不等于 O(2^g(n)))
【讨论】：