为什么偏移量计算为 `2^{n-1} - 1` 而不是 `2^{n-1}` 用于浮点指数表示

Question

我试图理解为什么二进制偏移表示法中的偏移K 计算为 2^{n-1}-1 而不是 2^{n-1} 用于浮点指数表示。这是我对2^{n-1} 的推理。

四位可以代表[-8;7]范围内的值，所以0000代表-8。这里与零的偏移量是8，可以计算为2^{n-1}。使用这个偏移量，我们可以定义任何数字的表示形式，例如数字3。

我们需要在-8 上加上什么数字才能得到3？它是11，因此偏移二进制中的3 表示为1011。而公式似乎是number to represent + offset。

然而，真正的公式是number to represent + offset - 1，所以正确的表示是1010。有人能解释一下为什么我们还要减去额外的一个吗？

Answer 1

我发布此作为答案是为了更好地解释我的想法，但即使我会引用该标准几次，我还没有找到明确说明的原因。

在下文中，我将参考 IEEE 754 标准（以及后续修订版）进行浮点表示，即使 OP 没有提及（如果我错了，请告诉我）。

问题是关于指数在浮点数中的特定表示。

在子条款 3.3 浮点数据集中说（强调我的）：

可在 a 中表示的有限浮点数的集合 特定格式由以下整数参数确定：

― b = 基数，2 或 10
― p = 有效数字的位数（精度）
― emax = 最大指数 e
― emin = 最小指数 e

emin 对于所有格式应为 1 - emax。

稍后指定：

最小的正正规浮点数是b^emin和 最大的是b^emax×(b − b^{1 − p})。幅度小于 b^emin 的格式的非零浮点数 被称为次正规，因为它们的大小介于 零和最小的正常幅度。

在3.4 二进制交换格式编码中：

二进制交换格式中的浮点数据表示在以下三个字段 (...) 中以 k 位编码：
a) 1 位符号 S
b) w-位偏置指数E = e + 偏置
c) (t=p−1)-位尾随有效位字段数字字符串T=d₁ d₂ ... d _{p - 1} ;有效数字的前导位 d₀ 隐式编码在偏置指数 E
(...)
编码偏差指数E的范围应包括：
― 1 和 2 之间的每个整数^w - 2（含），用于编码正常数字
― 保留值 0 用于编码 ±0 和 subnormal 数字
― 保留值 2^w - 1 编码 ±∞ 和 NaNs。

例如 32 位浮点数具有这些参数：

k，存储宽度，以 32 位为单位 p，精度为 24 位 emax，最大指数e 127 emin，最小指数 e -126 偏见，E - e 127 w，8 位的指数字段宽度 t，23 位尾随有效位字段宽度

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在this Q&A 中指出：“偏差的目的是使指数以无符号形式存储，从而更容易进行比较。”

考虑到上面提到的 32 位浮点表示，一个正常（不是 subnormal）数的编码偏差指数 E 在 1 到 254 之间。 p>

选择-126、127作为指数范围的原因在我看来可能是为了扩展可表示数字的范围：非常低的数字由表示次正规数 所以更大的（即使只有一个）最大指数可以处理大指数。