图遍历 n+2E 中 BFS 的最差时间复杂度是？答案

【问题标题】：Is the worst time complexity of BFS in a graph traversal n+2E?图遍历 n+2E 中 BFS 的最差时间复杂度是？
【发布时间】：2013-09-04 13:35:08
【问题描述】：

我知道 BFS 在图遍历中的时间复杂度为 O( V + E )，因为在最坏的情况下将探索每个顶点和每条边。

嗯，确切的时间复杂度是v+2E ??

每个顶点被探索一次+每个相邻顶点

graph= No of edges*2= 2E中所有顶点的度数之和

因此时间复杂度是n+2E..我正确吗？

【问题讨论】：

顶点度数之和是边数的两倍。
@VaughnCato：感谢您指出……让我编辑问题
O(V+E) 等价于O(V+2E)，因为V+2E <= 2*(V+E) 和O(2*(V+E)) 等价于O(V+E)

标签： algorithm graph time-complexity

【解决方案1】：

对于随机图，时间复杂度为O(V+E):Breadth-first search

如链接中所述，根据您的图的拓扑，O(E) 可能从O(V)（如果您的图是非循环的）到O(V^2)（如果所有顶点都相互连接）不等。

因此，时间复杂度从O(V + V) = O(V) 到O(V + V^2) = O(V^2) 不等，具体取决于您的图形拓扑。

另外，既然|V| <= 2 |E|，那么O(3E) = O(E)也是正确的，只是界限比较宽松。

【讨论】：

【解决方案2】：

假设

假设 G 是连通的且无向的。如果它没有连接，那么您可以将以下想法独立应用于 G 的每个连接组件。此外，假设 G 表示为邻接列表，对于每个顶点 v，我们可以确定是否在 O(1) 时间内访问了 v，例如使用查找表。

分析

如果您想计算 BFS 中的确切步数，您可以观察到：

由于 G 是连通的，BFS 会恰好访问每个顶点一次，所以我们计算 |V|节点访问。请注意，在一次访问中，您可能会执行更多操作，而不是计算边上的循环，而不仅仅是标记当前访问的顶点。
对于我们要计算的每个顶点 v，BFS 在该顶点检查多少条边。

您必须遍历 v 的所有边才能执行 BFS。如果你跳过一个边缘，那么很容易表明 BFS 是不正确的。所以每条边都要检查两次。

这里可能会出现一个问题。有人可能会问，是否需要检查顶点 v 中的边 (p, v)，其中 p 是 v 在已经构建的 BFS 树中的父节点，即我们直接从 p 来到 v。当然你不必考虑这条边，但决定跳过这条边也至少要花费一个额外的操作：

for (v, u) in v.edges:
    if u == p: # p is the parent of v in already constructed tree
        continue
    if not visited[u]:
        BFS(u, parent=v)

它检查的边数与下面的代码相同，但复杂度更高，因为除了一条边外，我们运行两条 if 语句而不是一条。

for (v, u) in v.edges:
    if not visited[u]: # if p is the parent of v, then p is already visited
        BFS(u, parent=v)

结论

你甚至可以开发一种不同的方法来跳过边 (v, p)，但它总是需要至少一次操作，所以这是一种浪费。

【讨论】：