表明 NP 完全语言的决策版本是 NP 完全的

Question

假设给你一个组合优化问题 A。让我们假设 WLOG 问题是团问题。

如何证明如果 clique 是 NP 完全的，那么 clique 的决策版本是 NP 完全的，其中决策版本当然是以下问题 B：是否存在大小等于 k ​​的 clique？

我想我有直觉，但不确定它是否足以证明：

第一步：

如果给定一组大小为 k 的顶点 C，我可以在多项式时间内验证存在大小为 k 的团（假设 B 的答案是肯定的，即存在大小为 k 的团）。因此，B 在 NP 中。

第二步：将 A 简化为 B。

-既然 A 要求最大大小的团，我们可以将问题分解为多个部分，B1：是否存在大小为 1 的团？，...，BN：是否存在大小为 N 的团？

-如果 A 是可解的，假设有一个大小为 k* 的团，那么每个 Bk, k=1,...,N 都可以通过将 k 与 k* 进行比较来轻松回答

-如果所有个 Bks 都是可解的，我们可以知道最大 clique 大小是多少。

我真的不确定这是一个减少，尽管它是在多项式时间内。也许是因为一个问题被分解为许多个问题。此外，我不确定我应该使用上面的“全部”这个词。

感谢您的帮助！ :)

Answer 1

组合优化问题不能是 NP 完全的。只有决策问题可以是 NP 完全的（参见，例如，http://en.wikipedia.org/wiki/NP-complete）。

Clique 优化问题（给定一个图，找到形成一个 clique 的最大顶点集）是 NP-hard，因为它的决策版本（给定一个图和一个 k，是否有一个大小 >= k 的 clique？）是NP完全的。