第一个 NP 完全问题是如何被证明是 NP 完全的？

Question

来自 NP-Complete 上的维基百科条目：

“证明某个新问题是NP完全的最简单方法是首先证明它在NP中，然后将一些已知的NP完全问题简化为它”

我很确定我理解这一点：如果我有问题，我可以证明它是 NP-Complete 如果我：

1. 表明它在 NP 中（解决 问题可以在 a 上的多项式时间 非确定性图灵机）

2. 表明已知为 NP-Complete 的问题可以 '简化'到新问题

那么，我的问题是，第一个 NP 完全问题是如何“证明”为 NP 完全的？有一次，已知的 NP 完全问题的集合必须为零，这使得无法诉诸上述过程中的步骤 2。

这让我觉得有另一种我不知道的证明方法。由于缺乏已知的多项式时间解决方案，对于某些问题，要么是这样，要么可能是整个 NP 完全属性被“假设”。 （实际上，写完这篇文章后，如果是这种情况，我不会感到惊讶，但无论哪种方式，我都希望得到一些大师的反馈）。

Answer 1

Cook's Theorem

NP 类可以定义为可以在多项式时间内由非确定性图灵机判定的问题类。该定理表明 SAT 是 NP 完全的，通过使用布尔公式对任何非确定性图灵机的操作进行编码，机器接受当且仅当该公式是 SATisfiable 时。

从历史上看，NP-completeness 的概念是在 Richard Karp 的开创性论文 (Reducibility Among Combinatorial Problems) 中引入的，他在该论文中定义了 NP-completeness，使用了 Cook 定理，并且一举证明了21 个问题 NP-完全。

Answer 2

为您提供证明的精髓（这是 Garey & Johnson 的 Computers and Intractibility 中的几页艰苦的工作）：

任何计算问题都可以表示为图灵机。

可以将图灵机表示为一个逻辑问题，满足一定的复杂性约束。

因此，如果你能在多项式时间内解决逻辑问题，你就可以在多项式时间内解决图灵机问题。

这（以及其他一些考虑）表明，如果您可以在多项式时间内解决逻辑问题，那么您可以在多项式时间内解决任何 NP 问题。这是NP完全的定义，因此逻辑问题是NP完全的，可以作为其他问题的基础。

使用的逻辑问题称为可满足性（通常缩写为 SAT）。给定一系列形式为（A or not-B or not-C）的子句（由任意数量的命题和由逻辑或连接的命题的否定组成的子句），是否存在对命题的真值分配，使得所有条款是真的吗？

NP 完全性是一个定义明确的属性。您怀疑某个问题是否为 NP 完全问题的唯一原因是您认为您可以将另一个 NP 完全问题简化为它，但还没有设法找到一个方便的问题或推导出一个证明。

问题不在于是否存在 NP 完全问题，或者如何证明一个问题是 NP 完全的，而是这意味着什么。还没有人提出多项式时间算法来解决 NP 完全问题，也没有人证明这样的算法不存在。无论 P=NP 与否，我们肯定没有好的算法来解决任何 NP 完全问题。

这是 Claypool 基金会的千年难题之一，因此，如果您能提出一个证明，让一些非常聪明的人多年来一直没有找到答案，那么您就有一百万美元的收益。