我试图了解 NP-Complete 和 NP-Hard 之间的区别。
以下是我的理解
NP-Hard 问题是无法在多项式时间内解决但可以在多项式时间内验证的问题。
NP-Complete 问题是属于 NP 且也是 NP-Hard 的问题。
上面的定义正确吗？如果是这样，那么问题不是在 NP 中而是在 NP-Hard 中呢？他们不会比 NP-Complete 问题更难，说他们只能在指数时间内解决和验证吗？
【问题讨论】：
标签： algorithm computer-science np-complete np np-hard
NP 问题（不是NP-Hard 问题）是一个可以在多项式时间内验证的决策问题。也许它们可以在多项式时间内解决，因为P 中的所有问题也在NP 中。
NP-complete 问题是一个决策问题，所有NP 问题都可以在多项式时间内简化。它们是全班最难的问题NP。
NP-hard 类是至少与NP-complete 问题一样难的问题类。它们不一定是决策问题。鉴于我们不知道是否NP = P，所以很难说我们是否可以在多项式时间内验证NP-hard 问题。
例如最大团的决策问题（给一个图G一个整数K，判断是否存在一个至少有K顶点的完整图）是NP问题。它也是NP-complete 和NP-hard。但是，最大团问题（在给定图中查找最大团）不是NP 或NP-complete，因为它不是决策问题。我们可以说它是NP-hard，因为它至少和最大团问题的决策版本一样难。
【讨论】：
让我把它简单化。
一位教授给他的学生一个问题，并要求他们提供一个有效的算法。
第二天，他的一些聪明的学生破解了算法来解决它。它的复杂度为 O(2n)。现在，所有人都很高兴他们得到了解决方案的算法。一切看起来都很好。
教授很欣赏他们，但说，“任务还没有结束”，并要求他们使用系统实际解决它。
因此，他们立即尝试在系统中模拟它。一位学生说，他的系统具有 1 GIPS（每秒1000,000,000 条指令）的惊人速度，并且可以在几分之一秒内解决问题。因此，他们编写算法并尝试执行它。
然后他们从数据集的 100 个输入开始，然后运行它。他们惊讶地发现程序运行，运行，运行，并且没有停止。
然后另一位学生对其进行了数学运算，发现系统需要 2100 / 109 秒来解决它.大约 240 年。
第二天，当程序还在运行时，教授说，“很好。我亲爱的学生，这就是我们所说的NP-Hard。系统可能会给出解决方案总有一天，但恐怕我们不会在那里看到它”。
但是，同样的问题，一旦它产生了一个解，如果我们能够在现实时间内验证一个 NP-Hard 问题的解，那么它被称为 NP-Complete。例如，子集总和是一个 NP-Hard 问题。但是，一旦我们得到一个子集解决方案，我们就可以在多项式时间内轻松检查它。所以它变成了NP-Complete。
【讨论】：
您对 NP-Hard 的定义不正确，它看起来更像（不完全正确）复杂性类 NP 的定义。
一个计算问题p 属于复杂性类别 NP，如果它可以有效地验证。在复杂性理论中，我们认为采用 多项式时间 的计算是有效的。所以正式的p ∈ NP 如果p 是多项式时间可验证。
在您的定义中，您提到了 多项式时间可解的概念，它对应于复杂性类 P。NP 完全问题是 多项式时间可解，如果并且仅当 P = NP 时。请注意，著名的P vs NP 是计算机科学中最大的开放问题之一，因此目前没有人知道 P = NP 还是 P ⊊ NP，并且说 NP 问题不是多项式时间可解的（尽管它普遍相信确实如此）。
直观地说，NP-Hard 问题是计算问题，至少与 NP 中的问题一样困难。当我们说一个计算问题p 至少和另一个问题q 一样难时，我们实际上是反过来想的——如果我们能在时间T 内解决p，那么我们也可以在时间T 内解决q em>与 T 大致相同（例如，相差一个多项式因子）。
更准确地说，如果存在从q 到p 的polynomial-time reduction，我们说p 至少与另一个问题q 一样难。粗略地说，多项式时间缩减意味着给定一个算法A 解决了p，我们可以通过将A 用作黑盒来构造一个多项式时间算法B（即我们将@ 的时间复杂度视为987654338@ as O(1)) 解决q。
在我们的 NP-Hard 问题中，如果一个 NP-Hard 问题可以在多项式时间中解决，那么 ALL NP 问题可以在中解决>多项式时间（因此 P = NP！）。因此，人们普遍相信 NP-hard 问题不是多项式时间可解的。
正如您在问题中正确陈述的那样，如果计算问题 p 是 NP-Hard 和 p ∈ NP，则它是 NP-Complete。
如果存在一个不属于 NP 的 NP-Hard 问题（据我所知，目前还没有证明此类问题属于此类），则此类问题 比NP-完全问题。
证明：假设我们的主张不正确。让p 成为一个 NP-Complete 问题，至少与另一个问题 q 是 NP-Hard 但不是 NP。因为p 至少和q 一样难，所以我们有一个多项式时间缩减（假设它及时运行P(n)）从q 到p。由于p在NP中，因此可以通过某种算法A及时验证T(n)，其中T是一个多项式。
现在给定q 的任何实例r，我们可以构造一个算法B，首先将其简化为p 的实例s，然后调用A 来验证s。注意B验证q及时T(P(n))，这是n中的多项式，因此q在NP中，这给了我们一个矛盾！
【讨论】：
NP-Hard 是问题的下界。不可能的问题也是 NP-Hard。 NP-Complete 意味着它是 NP-Hard 并且同时是 NP-Solvable。
可以在多项式时间内验证的问题是NP中问题的定义之一。
【讨论】：
你的定义只对 NP-complete 是正确的。
从底部开始：P 是可以通过某些确定性图灵机在多项式时间内解决的问题类别。 NP是一些非确定性图灵机可以在多项式时间内解决的问题（或者其解决方案可以在多项式时间内被确定性图灵机验证）。
对于 NP-hard，它意味着决策问题 X 具有以下性质：给定解决问题的图灵机，可以将 NP 中的任何问题实例重构（图灵归约）为多项式中 X 的实例时间。通俗地说，这意味着 NP-hard 问题是“至少与 NP 一样难”的问题，或者 X 的解决方案可以应用于 NP 中的每个问题。请注意，问题不必在多项式时间内可以验证，或者根本不需要实际验证。 NP-hard 也包括不可判定和不可识别的问题。
我们不知道 NP-hard 是否包括可以在多项式时间内解决的问题（P ?= NP 问题）。目前，还没有找到单一的多项式时间解决 NP 难题的问题，但也没有证明这样的解决方案不存在。如果为某些 NP-hard 问题 X 找到了这样的解决方案，那将意味着 P = NP，因为 NP 中的任何问题的任何实例都可以在多项式时间内转换为 X 的实例（因为 NP-hard 的图灵简化特性问题），然后通过 X 的多项式时间解在多项式时间内求解。
【讨论】：