C 循环复杂度

Question

我正在准备考试，这些是去年考试中的一些问题。任务是计算精确复杂度和渐近复杂度。你会怎么解决？如果可能，普遍使用。

for ( i = j = 0; i < n; j ++ ) {
  doSomething ();
  i += j / n;
  j %= n;
}

for ( i = 0; i < 2 * n; i += 2 )
  for ( j = 1; j <= n; j <<= 1 )
    if ( j & i )
      doSomething ();

for (i = 0; i < 2*n; i++) {
  if ( i > n )
    for (j = i; j < 2 * i; j ++ ) doSomething();
  else
    for (j = n; j < 2 * n; j ++ ) doSomething();
}

提前致谢

Answer 1

我对第三个循环的解决方案是

t(n) = [ (n-1)*n +  ((n-1)*n)/2 ] *D  + [ n^2 +n ] *D + [ 2n ]*I

所以它在O(n^2) 中，因为doSomething() 有一个恒定的时间 并且i 和j 是整数。

第二个词（[ n^2 +n ] *D）相当简单。

循环

for (j = n; j < 2 * n; j ++ ) doSomething();

在 i <= n 时被调用，因此它将被调用 n+1 次，因为它从 0 开始。

循环for (j = n; j < 2 * n; j ++ ) 调用doSomething() n 次，所以我们有(n+1)*n*D = [n^2+n] *D。我假设doSomething() 的时间恒定，等于D

第一项有点复杂。

for (j = i; j < 2 * i; j ++ ) doSomething();

在i>n 时被调用，因此它将被调用n-1 次。 循环调用doSomething() i 次。 第一次调用n+1，第二次调用'n+2'，以此类推，直到它是2n-1，等于n + (n-1)。 所以我们得到一个像这样的序列{n+1, n+2, n+3, ... , n+(n-1)}。

如果我们对序列求和，我们得到n-1 乘以n 和总和1+2+3+...+ (n-1)。 最后一项可以用"Gaußsche Summenformel"解决（对不起，我没有它的英文名称，但你可以在德语维基链接中看到公式）所以它等于((n-1)*n)/2

所以第一个词是(n-1) * n + ((n-1)*n)/2 *D

最后一项是 if 语句，称为2*n*I，其中I 是执行 If 语句的时间。

Answer 2

好吧，这里的问题是，对于所有三个循环结构，迭代量如何与n 成比例变化，对吧？所以让我们看看循环。我将省略第一个，因为你已经解决了。

for ( i = 0; i < 2 * n; i += 2 )
  for ( j = 1; j <= n; j <<= 1 )
    if ( j & i )
      doSomething ();

显然，外部 for 循环恰好运行 n 次。由于按位移位操作，内部循环运行log_2(n) 次。 if 子句在恒定时间内运行，因此整个循环在 O(n * log_2(n)) 中，假设 doSomething() 也在恒定时间内。

这样会更清楚吗？ :)

Answer 3

根据要求，我将解释我是如何得出第一个循环等于这样的结构的结果：

int i, j;
for (i=0; i < n; i++) {
    for (j=0; j <= n; j++) {
        doSomething();
    }
}

首先，我必须承认，在我真正考虑之前，我只是编写了一个小示例程序，包括三个 for 循环中的第一个，在迭代期间打印出 i 和 j。看到结果后，我在想为什么结果是这样的。

在评论中，我忘记添加我定义了n=200。

说明

我们可以说，虽然j 在迭代中的每一步都会定期递增，但它永远不会超过n 的值。为什么？在n 迭代之后，j==n。它将在 j %= n after i 已递增的语句中设置为 0。在语句i += j / n 中，i 将增加0 n-1 次，在n 次，它将增加1。这一切重新开始，直到i >= n。