索引相互依赖的三重嵌套 For 循环的时间复杂度

Question

我这里有类似 c++ 的伪代码：

 for ( i = 1; i ≤ (n – 2); i++)
     for (j = i + 1; j ≤ (n – 1); j ++)
         for (k = j + 1; k ≤ n; k++)
             Print “Hello World”;

我相当确定这个特定代码块的时间复杂度是 O(n^3)，因为它是三重嵌套的 for 循环，它们都至少达到 n - 2，所以我概括了 (n-2) * (n-1) * n

但我一直在尝试解决实际的时间复杂度函数。这是我走了多远，无法继续前进：

从 i = 1 到 n-2 的总和，从 j = (i+1) 到 n-1 的总和，从 k = (j+1) 到 n 的总和。

我知道最内层循环执行 n - (j+1) 步，中间循环执行 (n-1)-(i+1) 步，外层循环执行 (n-2)-i 步.我只需要一些关于如何简化求和以得出时间复杂度函数的指示。

谢谢！

Answer 1

如果感兴趣，循环遍历 n 个事物的每个组合，一次取 3 个，从 (1,2,3), (1,2,4), ... 开始，以 (n-2 ,n-1,n)，即 n! / (( 3!)( (n-3)!) ) = (n)(n-1)(n-2)/6 = (n^3 - 3n^2 + 2n) / 6 ，这导致 O (n^3)。

Answer 2

不要将循环从 1 运行到小于或等于某个值。您的代码等于：

for ( i = 0; i < (n – 2); i++)
  for (j = i; j < (n – 1); j ++)
    for (k = j; k < n; k++)
      Print “Hello World”;

所以你的内部循环运行n-j，中间的循环与n-1-i 相乘，外部循环与n-2 相乘。所以你得到(n-j)*(n-1-i)*(n-2)。 n 具有 O(n) 复杂性。因为i 从0 运行到(n-1)，你可以用O(n) 替换它（因为 sum(0, n) = 0 + 1 + .. + N = 0.5 * n^2 = O(n ^2))。与j 相同。所以你会得到(O(n)-O(n))*(O(n)-1-O(n))*(O(n)-2) = O(n)*(n)*O(n) = O(n^3)。

有关为什么可以将i 替换为O(n) 的详细信息，请参阅this 上的“嵌套循环”。