依赖嵌套循环的时间复杂度

【问题标题】：Time Complexity of Dependent Nested Loop依赖嵌套循环的时间复杂度
【发布时间】：2014-09-19 15:41:28
【问题描述】：

嗨，我一直试图了解这个嵌套循环的时间复杂度有一段时间了。

int i = 1;
while(i < n) {
    int j = 0;
    while(j < n/i){
        j++;
    }
    i = 2 * i;
}

根据我所做的几次计算，我认为它的大 O 表示法是 O(log(n))，但我不确定这是否正确。我尝试寻找一些示例，其中内部循环以这种速度加速，但我找不到任何东西。

谢谢

【问题讨论】：

标签： nested big-o complexity-theory

【解决方案1】：

在计算复杂度时很少有人使用的一个信息是：项的总和等于平均值乘以项的数量。换句话说，你可以用它的平均值替换一个变化的术语，并得到相同的结果。

因此，您的外部 while 循环重复 O(log n) 次。但是内部 while 循环会重复：n, n/2, n/4, n/8, ..., 1，这取决于我们是外部 while 的哪一步。但是 (n, n/2, n/4, ..., 1) 是几何级数，具有 log(n) 项，比率为 1/2，总和为 n.(1-1/n)/( 1/2) = 2n-2 \in O(n)。因此，它的平均值为 O(n/log(n))。由于它重复了 O(log(n)) 次，所以整个复杂度是 O(log(n)*n/log(n)) = O(n)...

【讨论】：

谢谢，我知道我的总结哪里搞砸了。