递归函数的渐近时间复杂度 (Theta)

Question

我被要求分析以下递归函数的渐近时间复杂度：

for-all k ≥ 1:
T(n) = n + T(n/2) + T(n/4) + T(n/8) + .... + T(n/2^k)

我能够证明：
T(n) = O(n⋅log n) 和 T(n) = Ω(n),
但我正在寻找更紧密的界限（Big Theta）。

Answer 1

首先：
我这样理解“for-all k >= 1”：对于k = 1 到k = m 其中2<sup>m-1</sup> ≤ n ≤ 2<sup>m</sup>。
所以基本上m = log₂(n) 成立。

看看我的计算：

T(n) = n + Σ_k=1,...,m T(n/2^k) = n + T(n/2) + Σ_k=2,...,m T(n/2^k) = n + n/2 + 2⋅Σ_k=2,...,m T(n/2^k) = ... = n + Σ_k=1,...,m k⋅n/2^k = n + n⋅Σ_k=1,...,m k/2^k = n + n⋅(2 - 2^-mm - 2^1-m) ≤ n + 2⋅n = 3n

所以T(n) 在Θ(n) 中。

注意：
您还可以通过积分 s(m) = ∫<sub>1</sub><sup>m</sup> k/2<sup>k</sup> dk 来近似 Σ<sub>k=1,...,m</sub> k/2<sup>k</sup>。
这里lim<sub>m → ∞</sub>s(m) = 2 也成立。