递归函数如何推导渐近复杂度答案

【问题标题】：How is Asymptotic Complexity Derived for Recursive Functions递归函数如何推导渐近复杂度
【发布时间】：2018-01-18 23:27:54
【问题描述】：

我没有在网站上找到一个通用的答案

举例

如果我有一些算法；说二进制搜索我如何推导（数学显示）它的复杂性是O(log(n))。

但更一般地说，我如何推导出任何递归算法的渐近复杂度？

【问题讨论】：

没有一般的答案。每个计算都取决于算法的性质。这样做的唯一“通用”方法是通过实验测量一系列不同输入的计算时间，并将数据拟合到已知的现有函数。
@meowgoesthedog 好的，二分搜索示例呢？
我不能仅仅为了一个例子而发布答案。但是您可以为大多数递归算法构造一个递归关系。对于二分查找，每次搜索空间缩小50%，所以关系函数为T(n) = T(n/2) + C。如果你解决了这个问题，你应该得到O(log n)
@meowgoesthedog 啊，这就是我要弄清楚的递归函数，我已将标题更改为更相关，C 是什么？
也可能将“任何算法的复杂性”更改为“任何递归算法”

【解决方案1】：

许多递归算法的时间复杂度可以用它自己来表示，就像算法一样。这称为递归关系，通常采用以下格式

T(N) = [sum of T(N_i) for recursive call i] + [sum of other work done in the function]

例如，二分搜索有一个非常简单的递归关系：对于每个递归调用 1) 搜索空间减半，以及 2) 完成的工作量是恒定的。因此关系的形式为T(N) = T(N / 2) + C。为了解决这个问题，反复替换它并找出一个模式：

T(N) = T(N / (2^1)) + C
     = T(N / (2^2)) + 2C
     = T(N / (2^3)) + 3C
     = ... 
     = T(N / (2^m)) + mC

当搜索空间只有一个元素时，即当N / (2^m) = 1 时，二分搜索终止。这对应于m = log2(N) 和T(N / (2^m)) = 0。

因此时间复杂度为O(m) = O(log N)。（日志的基数无关紧要，C 也不重要，因为它们都是乘法常数）

【讨论】：

【解决方案2】：

对于最常见的递归关系，您的答案是主定理。见：https://en.wikipedia.org/wiki/Master_theorem

您还可以在 CRLS - 算法简介中找到这一点。

【讨论】：