为什么这个阶乘查找算法不是 O(n!) 运行时复杂度？

Question

我通过实现这篇文章中的算法发现了这个问题：Example of O(n!)?

虽然我尝试计算操作数，但算法在计算 4 时循环了 64 次！ （即 24）。

我有什么遗漏吗？或者这个算法真的只是具有不是 O(n!) 的运行时复杂度

var operations = 0;

function factorial(n) {
    for (let i = 0; i < n; i++) {
        operations++;
        factorial(n - 1);
    }
}

console.log(factorial(4))
console.log('operations: ', operations) // prints 64 operations

Answer 1

可能有一个很好的理论分析，但这里是一个经验分析。 我为数字 0 到 12 运行程序并跟踪操作。请注意，这些操作很快就会非常接近前一个条目的 n 倍。以及运算与 n! 的比率！似乎倾向于 e。因此，如果操作的极限是 e（或某个常数）乘以 n!，我们就是 O(n!)。我们不需要 = n！做到这一点。

Answer 2

您正在计算每个递归级别的循环操作（即计算除最外层之外的函数调用），而不是计算最内层的函数调用。因此，您得到的计数比您预期的普通阶乘要高得多：

1                         = 1
2 + 2*1                   = 4
3 + 3*2 + 3*2*1           = 15
4 + 4*3 + 4*3*2 + 4*3*2*1 = 64
…

任意n 的扩展可以在https://oeis.org/A007526 中找到。这些仍然受到O(n!)的限制 - 请参阅链接中的封闭公式，例如floor(e*n! - 1) 或 n! * Sum_{k=0..n-1} 1/k!，它们显然由 n! 术语主导。 （计算所有调用会得到https://oeis.org/A000522、n! * Sum_{k=0..n} 1/k!）。

要准确获得阶乘，您只需计算最里面的函数调用：

var operations = 0;

function factorial(n) {
    if (n == 0) operations++;
    for (let i = 0; i < n; i++) {
        factorial(n - 1);
    }
}

console.log(factorial(4))
console.log('operations: ', operations) // prints 64 operations

Answer 3

阶乘函数应该是：

var operations = 0;

function factorial(n) {
    operation++;
    if (n === 0) return 1;
    return n*factorial(n - 1);
}

console.log(factorial(4))
console.log('operations: ', operations) // prints 24 operations

它是 O(n)。 这个例子是关于 O(n!)，这是一个时间复杂度取决于 n!，而不是 n!自己。